Home Explore รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Published by t.kruyok004, 2022-08-06 18:20:12

Description: รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Read the Text Version

Pages:

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ601 ¶Ò¾¨¹·Çä»¢o§o¹¡ÃÁe»¹ aèu1eÅ¢¤³iµeÃÕÂ¡ÇÒo¹¡ÃÁÎÒÃ Á¹¡ ¨ äÁä´È¡ÉÒã¹Ã ´aºªaé¹¹ uoia ึaÕé ¶Ò¾¨¹·Çä»¢o§o¹¡ÃÁe»¹ aèu1×eÅ¢¤³iµeÅ¢¤³iµ¨ ¤íÒ¹Ç³ ´ÂæÂ¡e»¹eÈÉÊÇ¹ÂoÂÅº¡a¹ aoµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁµoä»¹ uÕé1111...3 55 77 961 63++++⋅⋅⋅ ⋅e¹o§¨Ò¡ ื è11 11352 35⎛⎞=− ⎜⎟ ⋅ ⎝⎠ æÅ a11 11572 57⎛⎞=− ⎜⎟ ⋅ ⎝⎠ æÅ ¾¨¹oè¹ ¡çæÂ¡ä´ã¹Å¡É³ e´ÕÂÇ¡a¹ a ืæaa¤Ò¢o§o¹¡ÃÁ¨§e·Ò¡aº uึ ()()()()1111111 111 1155772 32292 6163...−+ −+ −++ −()11111111155772396163...= −+−+−++−()10111236363=−=µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁµoä»¹ uÕé111...3575 7 97 9 11+++⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 602 ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁ¹e·Ò¡aº uÕé() () ()1111111114 3 55 74 5 74 79 799 11...⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ −+ −+ −+()11111114 3 55 75 779799 11...⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −+−+−+( )11143 560⋅==ËÁÒÂeËµu ã¹¢o¹Õé¤i´ÇÒÅº¡a¹Ë¡ÅÒ§ËÁ´·§æ¶Çä´ e¾ÃÒaaéa¤Ò·ºÇ¡Åº¡a¹Â§¹oÂÅ§eÃèoÂ e¢ÒÊ ..æµ¶Ò¤Ò·ÕèºÇ¡ Õèièืæ Ù0 Åº¡a¹Â§ÁÒ¡¢é¹eÃèoÂ ¨ µ´·§äÁä´ æÅ o¹¡ÃÁ¨ Åoo¡ ièึืæ aaié aua Ù eª¹ 233445 566 ...+−+−+−+−+ æºº¹Õé¨aË¡ÅÒ§eËÅo äÁä´ e¾ÃÒ ¤Ò·ºÇ¡Åº¡a¹Â§ÁÒ¡¢é¹aื2 a ÕèièึeÃèoÂ µo§µoºÇÒo¹¡ÃÁ¹ÕéÅoo¡ ืæuÙ µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§o¹¡ÃÁµoä»¹ uÕé1111...3557798081+++ ++++ +e¹o§¨Ò¡ ื è135235−=−+

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ603 æÅ a157257−=−+æÅ ¾¨¹oè¹ ¡çæÂ¡ä´ã¹Å¡É³ e´ÕÂÇ¡a¹ a ืæaa¤Ò¢o§o¹¡ÃÁ¨§e·Ò¡aº uึ ()() ()()35577980812222...−−− −−−− −++++355779 ... 80812−+− + − ++ −−=3819 322−− −==æµ¶Ò ¨·Â¢o¹e»ÅÂ¹e»¹ãËËÒ¼ÅºÇ¡o¹¹µ ¨ µo§µoº o ÕéÕèaa ÇÒo¹¡ÃÁÅoo¡ e¾ÃÒ ¨ e¡i´Å¡É³ uÙ a aaa355779 ...2− + − + − +−«è§¤Ò·ºÇ¡Åº¡a¹Â§ÁÒ¡¢é¹eÃèoÂ ึ Õèièึืæ(ËÃo¶Ò¤íÒ¹Ç³ ¡o¹ ¡ç¨ ¾ºÇÒÅíÒ´aº ÅÙoo¡ ื n San S¨§·ÒãËËÒ¤Ò äÁä´) ึíS ∞ 12. ÊÃu»o¹¡ÃÁÃÙ»æººµÒ§ e¡ÕèÂÇ¡aº eÃ¢Ò¤³iµ uæ ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹eÅ¢Â¡¡íÒÅ§ ¨ e»¹o¹¡ÃÁ aèaaueÃ¢Ò¤³iµ (¤íÒ¹Ç³ ´Âe¢ÕÂ¹æ¨¡æ¨§oo¡ÁÒ æÅÇãªÊµÃo ÙeÃ¢Ò¤³iµ)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 604 ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹ aè1eÃ¢Ò¤³iµ, eÃ¢Ò¤³iµ eÃ¢Ò¤³iµ , ËÃo ×ื1×eÃ¢Ò¤³iµeÃ¢Ò¤³iµ¡çÂ§¤§e»¹o¹¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµeËÁo¹e´iÁ auื ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹ eÃ¢Ò¤³iµ eÃ¢Ò¤³iµ ãËæÂ¡ aè + ∑ ¤i´·ÕÅ ÊÇ¹ (e¾ÃÒ «i¡ÁÒæ¨¡æ¨§¼ÅºÇ¡ä´) a aµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ i2i2i1 23 ()∞=−+∑¾¨¹·Çä»e»¹eÅ¢Â¡¡íÒÅ§ æÊ´§ÇÒe»¹o¹¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµ aèa u..eÁèoe¢ÕÂ¹¾¨¹µÒ§ oo¡ÁÒ ¨ ä´¼Å´a§¹ ื æaÕéi2i2i1 23 ()...1242781243∞=−+=++ +∑(ãªÊµÃo¹¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµo¹¹µ, ¤Ò e·Ò¡aº Ùua r2/3) 1/27112/39== −µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ nn 2n112(2 (0.2)( ) )∞+=⋅− ∑¨Ò¡ÊÁºaµ¢o§«i¡ÁÒ«è§ÊÒÁÒÃ¶æ¨¡æ¨§¼ÅºÇ¡, ¼ÅÅº i ึ¨ ä´ann 2nn 2n 1n1n11122(2 (0.2)( ) )2(0.2)( )∞∞ ∞ ++== = ⋅−= −∑∑ ∑

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ605 eÁèoe¢ÕÂ¹¾¨¹µÒ§ oo¡ÁÒ ¨ ä´o¹¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµ´a§¹Õé ื æaun23n1(0.2)0.2 (0.2)(0.2)...0.21410.2∞==+ + += = −∑æÅan2345n111112222()()()()...1/814 11/2∞+==+++= = −∑ÊÃu»¤íÒµoº nn 2n112(2 (0.2)( ) )2( )111442∞+=⋅−=−=∑13. o¹¡ÃÁ¼ÊÁ (·§eÅ¢¤³iµæÅ eÃ¢Ò¤³iµ) uaéa ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹ eÅ¢¤³iµ eÃ¢Ò¤³iµ aè ×ËÃo ืeÅ¢¤³iµeÃ¢Ò¤³iµ ¨ eÃÕÂ¡ÇÒ o¹¡ÃÁ¼ÊÁ a u(¤íÒ¹Ç³ä´ ´Â¹Ò¤Ò ¢o§eÃ¢Ò¤³iµÁÒ¤Ù³ æÅÇµaé§oírÊÁ¡ÒÃÅº¡a¹ e¾èoãËÊÇ¹·e»¹eÅ¢¤³iµËÒÂä» eËÅoæµื ÕèืeÃ¢Ò¤³iµÅÇ¹ ) æ ¶Ò¾¨¹·Çä»e»¹ aèeÃ¢Ò¤³iµeÅ¢¤³iµ¨ äÁä´È¡ÉÒã¹Ã ´aºªaé¹¹Õé a ึa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 606 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò n53n 211728822......+++++++¾i¨ÒÃ³Ò¨Ò¡¾¨¹·Çä»· ¨·ÂãËÁÒ aèÕèo ÊÇ¹·e»¹eÅ¢¤³iµ¤o Õèื3n+2 (5, 8, 11, 14, …)ÊÇ¹·e»¹eÃ¢Ò¤³iµ¤o Õèืn 11 1 114 8 1622(, , ,,...)¨§·ÃÒºÇÒ¤ÇÃe¢ÕÂ¹eÈÉÊÇ¹ã¹ÃÙ»¹ ึÕé58111442816S...∞= + + + +______ (1)¶Ò¤Ù³ÊÁ¡ÒÃ¹Õé´ÇÂ¤Ò 12r= ¨ ä´ a58111144281632S...∞=+++ +______ (2)æÅÇ¹Ò í(1) (2)- ´ÂãË¾¨¹·ÕèÁÕÊÇ¹e·Ò¡a¹e¢ÒÅº¡a¹ o¨ ä´ a()53331422816S...∞= + + + +«è§ã¹Ç§eÅºe»¹o¹¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµo¹¹µ ¨§ãªÊµÃä´e»¹.. ึçua ึ Ù () 3/4521 1/24−= +=´a§¹¹¨§ä´¤íÒµoº aéึ S8 ∞=

เพิ่มเติม บทท ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ี่ 1 ํ607 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò¢o§ S3 1 5 2 7 4 9 8 ... 21 512=⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ ++⋅ÊÇ¹·e»¹eÅ¢¤³iµ¤o Õèื3, 5, 7, 9, …, 21ÊÇ¹·e»¹eÃ¢Ò¤³iµ¤o Õèื1, 2, 4, 8, …, 512¨§¹Ò¤Ò ึír2 = ¤Ù³ÊÁ¡ÒÃ¹ ¨ ä´ Õéa2S32 54 78 9 16 ... 21 1024=⋅ +⋅ +⋅ + ⋅++⋅µ§ÅºÊÁ¡ÒÃ ´ÂãË¾¨¹·ÕèÁÕµÇ¤Ù³e·Ò¡a¹e¢ÒÅº¡a¹ ¨ ä´ aéoaaS3 1 (22 24 28 ... 2 512) 21 1024− = ⋅ +⋅+ ⋅ + ⋅++ ⋅−⋅«è§ã¹Ç§eÅºe»¹o¹¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµ ¨§ãªÊµÃä´e»¹.. ึçuึ Ù 94(21)21 3 () 2150419457−−=+−= −´a§¹¹¨§ä´¤íÒµoº aéึ S 19457 =

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 608 (Ë¹ÒÇÒ§)

คณตศาสตรเพมเติม มิิ่ .6 เทอม 2 บทที่ 2แคลคูลสเบื้องตนั1. ¡ÒÃËÒÅiÁiµ¢o§ f(x) ÊÒËÃaº¿§¡ª¹ í ayf(x) = ã´æ ¤o¡ÒÃ¾i¨ÒÃ³ÒÇÒ eÁèo ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å¤Ò¨Ò¹Ç¹¨Ãi§¤Òã´ืืx í¤ÒË¹§ (eª¹ e¢Òã¡Å ) ÅÇ ¤Ò¢o§ ËÃo ึ èaæ yืf(x) ¨ae¢Òã¡Å¤Òã´ ¤ÒÅiÁiµ·ä´¨ e¢ÕÂ¹e»¹Ê Å¡É³ÇÒ Õèa aa xalim y→ ËÃo ืxalim f(x)→2. ¿§¡ª¹ã´æ ¨ ÁÕ¤Ò aaxalim f(x)L→= ¡çµoeÁèo ืxaxalim f(x)lim f(x)L−+ →→== e·Ò¹¹ aé ¤íÒÇÒ xalim f(x)− → ¤oÅiÁiµ«ÒÂ ËÒä´¨Ò¡¡Ã³Õ·Õè ÁÕืx¤Òe¢Òã¡Å ·Ò§«ÒÂ (¤o aืxa <) ¤íÒÇÒ xalim f(x)+ → ¤oÅiÁiµ¢ÇÒ ËÒä´¨Ò¡¡Ã³Õ·Õè ÁÕืx¤Òe¢Òã¡Å ·Ò§¢ÇÒ (¤o aืxa>) µaÇoÂÒ§ ¿§¡ª¹ ayf(x)x 3==+¾ºÇÒeÁèo ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ·Ò§«ÒÂ eª¹ ืx 5x4.9999 =¨ ä´¤Ò a y7.9999= (x5lim f(x)8− →=) æ aÅ eÁèo ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ·Ò§¢ÇÒ eª¹ ื x 5x5.0001= ¨aä´¤Ò y8.0001= (x5lim f(x)8+ →=)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 610 «è§äÁÇÒ ¨ e¢Òã¡Å ·Ò§´Ò¹ã´¡çµÒÁ ¤Ò ¨ e¢Òึ xa5yaã¡Å eÊÁo ¨§ÊÃu»ä´ÇÒ 8ึ x5lim f(x)8→=µaÇoÂÒ§ ¿§¡ª¹ ax4x3yf(x)2x 1x3⎧ +⎪== ⎨−< ⎪ ⎩> eÁèo ืeÁèo ื¾ºÇÒeÁèo ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ·Ò§«ÒÂ eª¹ ืx 3x2.9999=¨ ä´¤Ò a y4.9998 = ( Ê´§ÇÒ æx3lim f(x)5− →=) æ aÅ eÁèo ÁÕ¤Òe¢Òã¡Å ·Ò§¢ÇÒ eª¹ ื x 3x3.0001= ¨aä´¤Ò y7.0001= ( Ê´§ÇÒ æx3lim f(x)7+ →=) ÅiÁiµ«ÒÂ Å ¢ÇÒ¢o§ ÁÕ¤ÒäÁe·Ò¡a¹ æ a3 ¨§ÊÃu»ä´ÇÒ·Õè ึ x3= ¿§¡ª¹¹äÁÁÕÅiÁiµ aÕéËÁÒÂeËµu ¶Òe»ÅÂ¹¨´·Õè¾i¨ÒÃ³Ò e»¹¨´o¹æ ·äÁãª Õèuxuื èÕè 3 ¨ ËÒÅiÁiµä´eÊÁo e¾ÃÒ ÅiÁiµ«ÒÂ¡aº¢ÇÒµÒ§¡çãªe§o¹ä¢aa ืèe´ÕÂÇ¡a¹ ( Å e»¹¡ÃÒ¿eÊ¹µoe¹o§äÁ¢Ò´µo¹) æ a ื èxf(x)1 2 3 4 5 61005

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้611 3. ·ÄÉ®Õº·e¡ÕèÂÇ¡aºÅiÁiµ (1) ÅiÁiµ¢o§¤Ò¤§· e·Ò¡aº¤Ò¤§·Õè¹¹ Õèaéxalim cc→=(2) ÅiÁiµ¢o§¿§¡ª¹·Â¡¡íÒÅ§ã´æ ÊÒÁÒÃ¶ ·¹¤Òä´eÅÂ aÕèaæxalim xa→= Å æ annxalim xa→=(3) ´§ÊÁ»Ã Ê·¸ä´ ึaa iiìxaxalim c f(x)c lim f(x)→→=(4) ¨¡ ¨§e¢ÒÀÒÂã¹¡ÒÃÂ¡¡íÒÅa§ Å ¡ÒÃ¶o´ÃÙ·ä´ æ ææ annxaxalim [f(x)][lim f(x)]→→=nnxaxalimf(x)limf(x)→→=(5) ¨¡ ¨§e¢ÒÃ ËÇÒ§¡ÒÃºÇ¡Åºä´ æ æaxaxaxalim [f(x)g(x)]lim f(x) lim g(x)→→→ ±= ±(6) ¨¡ ¨§e¢ÒÃ ËÇÒ§¡ÒÃ¤Ù³ËÒÃä´ æ æaxaxaxalim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x)→→→ ⋅= ⋅xaxaxalim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x)→→→ ÷= ÷µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤ÒÅiÁiµã¹ µÅ ¢oµoä»¹Õé æ a 2x1lim (xx 1)→−++ÅiÁiµ¢o§¾Ë¹ÒÁ ÊÒÁÒÃ¶ ·¹¤Ò uæx1=− Å§ä»ä´eÅÂ ¨ ä´¤íÒµoºe·Ò¡aº a1

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 612 3x0x8limx2→⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠ ËÒ¡ ·¹¤Ò æx0 + → (ËÃoÁÒ¡¡ÇÒ eÅ¡¹oÂ) ื0ç¨ ä´¤ÒÅiÁiµ¢ÇÒe·Ò¡aº a 42 82= −−æµeÁèo ืx0 − → ( ¹oÂ¡ÇÒ eÅ¡¹oÂ) x0ç¨ ·ÒãË a íx äÁe»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ (ã¹ÃÙ·µ´Åº) íiÊÃu»ÇÒÅiÁiµ¢ÇÒe»¹ 42 µäÁÁÕÅiÁiµ«ÒÂ æ ´a§¹¹¤íÒµoº¢o¹Õé¤o äÁÁÕÅiÁiµ aéื2x3x9lim3x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠eÁèoÅo§ ·¹¤Ò ืæx3 = ¨ e¡i´ÃÙ» ºº ¢é¹ aæ00ึ·ÒãËäÁ·ÃÒº¤íÒµoº ¨§µo§ Â¡¤i´ÅiÁiµ«ÒÂ Å ÅiÁiµ¢ÇÒ í ึ ææ ae¾èoãË¶o´¤ÒÊÁºÃ³oo¡ä´ (µÒÁ¹ÂÒÁ¢o§¤ÒÊÁºÃ³) ืaÙiaÙÅiÁiµ«ÒÂ ·´Åo§ ·¹eÅ¢·Õè¹oÂ¡ÇÒ eÅç¡¹oÂÅ§ä» æ3e¾èo´Ùe¤Ãèo§ËÁÒÂ Å ¶o´¤ÒÊÁºÃ³ ä´e»¹.. ืืæ aaÙ 22x3x3x9x9limlim3x3x−− →→ ⎛⎞⎛⎞−− =⎜⎟⎜⎟−− ⎝ ⎠⎠⎝ x3lim ( (x 3))6− →=−+= −

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้613 µoÁÒÅiÁiµ¢ÇÒ ·´Åo§ ·¹eÅ¢·ÁÒ¡¡ÇÒ eÅ¡¹oÂÅ§ä» æÕè3çe¾èo¶o´¤ÒÊÁºÃ³ ä´e»¹ ืaÙ 22x3x3x3x9x9limlimlim (x 3) 63xx 3+++→→→ ⎛⎞⎛⎞−− ==+ =⎜⎟⎜⎟−− ⎝ ⎠⎠⎝¾ºÇÒÅiÁiµ«ÒÂ¡aº¢ÇÒÁÕ¤ÒäÁe·Ò¡a¹ ´a§¹¹¢o¹ äÁÁÕÅiÁiµ aéÕéx452x3limx4→− ⎛− ⎞ ⎜⎟ ⎜⎟−⎝⎠ eÁèoÅo§ ·¹¤Ò ืæx4 = ¡ç¨ ä´ a00eÃÒµo§¶o´¤ÒÊÁºÃ³oo¡eª¹e´iÁ aÙæµ¢o¹ºÃieÇ³ Õéx4 = (äÁÇÒ¨ «ÒÂËÃo¢ÇÒ¢o§ ) ¹¹ a ื4aé¨ ¶o´¤ÒÊÁºÃ³ä´ ººe´ÕÂÇ¡a¹ ¤o aaÙ æืx4x452x352x 3limlimx4x 4→→ − ⎛− ⎞ −+− ⎞⎛=⎜⎟⎜⎟⎜⎟ −− ⎝⎠⎝⎠ x4x42x 8limlim (2)2x4→→− ⎞⎛=== ⎜⎟−⎝⎠x5lim f(x)− → eÁèo ื, x4.99f(x),x4.99xxxx⎧<⎪= ⎨⎪− > ⎩

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 614 ·Õè ¹oÂ¡ÇÒ eÅ¡¹oÂ eª¹ x5çx4.999999 =¨ µo§ãªe§o¹ä¢ÅÒ§e·Ò¹¹ (e¾ÃÒ a ืèaéax4.99 >) ä´e»¹ x5x5x5lim f(x)lim ()lim ( 1)1xx−−−→→→ =−=−= −x6lim f(x)→ eÁèo ืx4 , x6f(x)x5 , x6− ⎧ < = ⎨− ⎩>ÅiÁiµ«ÒÂ ( ¹oÂ¡ÇÒ eÅç¡¹oÂ) ãªe§èo¹ä¢º¹ x6 ืä´ÅiÁiµe·Ò¡aº 2ÅiÁiµ¢ÇÒ ( ÁÒ¡¡ÇÒ eÅ¡¹oÂ) ãªe§o¹ä¢ÅÒ§ x6ç ืèä´ÅiÁiµe·Ò¡aº 1ÅiÁiµ«ÒÂ¡aº¢ÇÒäÁe·Ò¡a¹ ´a§¹¹¤íÒµoº¢o¹Õé¤o äÁÁÕÅiÁiµ aéื4. ÃÙ» ººÂ§äÁ¡íÒË¹´ ¤oÃÙ» ºº¨Ò¡¡ÒÃ ·¹¤Ò æa ืææaÅ§ä» ÅÇÂ§ÊÃu»äÁä´ÇÒ¤ÒÅiÁiµe»¹e·Òã´.. ä´ ¡ æ a æÃÙ» ºº , , æ00∞∞0⋅∞, ∞−∞, , 000∞ Å æ a1 ∞«è§ÃÙ» ºº·¾ººoÂã¹ ¤Å¤ÙÅÊ Á.»ÅÒÂ ¤o ึæÕèæaื00(ÊÇ¹ã¹º·· ÅÇeÃèo§ÅiÁiµ¢o§ÅÒ´aº ¡çä´¾ºÃÙ» ºº Õèæ ืíæ∞∞)

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้615 ¶Ò xalim f(x)→ oÂã¹ÃÙ» ºº Ù æ00e·¤¹¤¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³¤o ¾ÂÒÂÒÁ Â¡¾¨¹ iืæxa − ã¹eÈÉæ aÅ ÊÇ¹ÁÒµ´¡a¹ e¾èoäÁãËeËÅoµÇ»Ã ¡oºã¹eÈÉ Å ÊÇ¹aื ืaaæ a·Õè·ÒãËe¡i´¤Ò ... oÒ¨ãªÇi¸ Â¡µÇ»Ã ¡oºËÒ¡e»¹¾Ëí0Õæaau¹ÒÁ ËÃo¡ÒÃ¹Ò¤Ò·eËÁÒ ÊÁ¤Ù³·§eÈÉ Å ÊÇ¹ ËÒ¡ืíÕèaaéæ ae»¹ÃÒ¡·Êo§ËÃoÃÒ¡·ÊÒÁ ÕèืÕèµaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò x3lim f(x)→ eÁèo ื2x9f(x)x3 −=−eÁèo ·¹¤Ò ´ÇÂ ¨ e¡i´ÃÙ» ºº ¢é¹ ืæx3aæ00ึ¨§ Â¡µÇ»Ã ¡oºÁÒµ´¡a¹ä» ´a§¹Õé ึæaaa2x3x3x9(x 3)(x 3)limlimx3x3→→ −+ − =−− x3lim (x 3)6→=+=** ´Â»¡µ¡ÒÃËÒÃ¡a¹¨ ËÒÁµ´eÈÉ Å ÊÇ¹·e»¹ ·§ oia aæ aÕè0ié.. µã¹¡ÒÃËÒÅiÁiµeÃÒÊÒÁÒÃ¶¡íÒ¨´ æ axa − (·eËÁo¹¨ ÁÕÕèืa¤Òe»¹ ) ·§eÈÉ Å ÊÇ¹ä´ ¡çe¾ÃÒ ¡ÒÃËÒÅiÁiµ¹¹äÁä´ 0aéæ aaaé ¾i¨ÒÃ³Ò ³ µíÒ Ë¹§·Õè æxa = ¾o´ÕoÂ ÅÇ e¾ÕÂ§Ù æ¾i¨ÒÃ³Ò·ÕèµíÒ Ë¹§ ã¡Åe¤ÕÂ§ ÁÒ¡æææ e·Ò¹¹ æxaaé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 616 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤ÒÅiÁiµã¹ µÅ ¢oµoä»¹Õé æ a 2x4x9 5limx4 →⎛⎞+−⎜⎟ ⎜⎟−⎝⎠ eÁèoÅo§ ·¹¤Ò ืæx4 = ¨ ¾ºÇÒoÂã¹ÃÙ» ºº aÙ æ00¢o¹ÕéÁÕÃÒ¡·Êo§ Õè¨§¨´ÃÙ»ãËÁ ´Âãª ึao2x9 5 ++ ¤Ù³·§eÈÉ Å ÊÇ¹ aéæ ae¾èoãËÃÙ·ËÒÂä» µÒÁ¡®·ÕèÇÒ ื 22(A B)(A B)AB−+=−¨ ä´ a222x4x9 5x9 5limx4x9 5→⎛⎞ ⎛⎞ +−+ +⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ −++⎝⎠ ⎝⎠ 22x4x9 25lim(x 4)( x9 5)→⎛⎞+−=⎜⎟ ⎜⎟ −+ +⎝⎠ 22x4x16lim(x 4)( x9 5)→⎛⎞−=⎜⎟ ⎜⎟ −+ +⎝⎠ 2x4x48lim0.810x9 5→+⎛⎞== = ⎜⎟ ⎜⎟++⎝⎠

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้617 2x0x2x 39 xlimx→⎛⎞ +−+ −⎜⎟ ⎝⎠ eÁèoÅo§ ·¹¤Ò ืæx0 = ¨ ¾ºÇÒoÂã¹ÃÙ» ºº eª¹¡a¹ aÙ æ00ãªÇi¸Õ¨´ÃÙ»eª¹e´ÕÂÇ¡aº¢o· ÅÇ aÕèæ ¨Ò¡ ¨·Â¤o o ืx039 xlim x 2x→⎛⎞ −− +−⎜⎟ ⎝⎠ x0x039 xlim (x 2) limx→→⎛⎞ − −=+− ⎜⎟ ⎝⎠ x039 x39 x2limx39 x→⎛⎞ − ⎛⎞ +− −=− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠+−⎝⎠x09(9 x)2lim(x)(39 x)→− −⎛⎞ =− ⎜⎟ +−⎝⎠ x0x2lim(x)(39 x)→⎛⎞ =− ⎜⎟ +−⎝⎠ x011112lim26639 x→⎛⎞ =−=−=⎜⎟ +−⎝⎠

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 618 33x22xlim2x→⎛⎞−⎜⎟ ⎜⎟−⎝⎠ o¨·ÂÃÙ» ºº ¢o¹ÕéÁÕÃÒ¡·ÕèÊÒÁ æ00´a§¹¹¾¨¹·Õè¹ÒÁÒ¤Ù³e¾èoãËÃÙ·ËÒÂä» ¨ µÒ§¨Ò¡e´iÁ aéíื a µÒÁ¡®·ÕèÇÒ 2233(A B)(AAB B )A B−++=−æ aÅ ¢o¹Õéµo§¤Ù³¶§Êo§Ãoº e¾ÃÒ µÇÊÇ¹¡çÁÕÃÒ¡·Êo§´ÇÂ ึa aÕè¨ ¤íÒ¹Ç³ä´´a§¹.. aÕé2/31/32/3332/31/32/3x22x2(2x)x2xlim2(2x)x2x2x→⎛⎞⎛ +⎞ ⎞⎛ −+ +⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎜⎟++−+ ⎝ ⎠ ⎠⎝⎝⎠2/31/32/3x22x2xlim2x2(2x)x→⎛⎞ ⎞−+ ⎛ =⎜⎟ ⎟⎜ −++⎝⎠ ⎝⎠2/31/32/3x22xlim2(2x)x→⎛⎞+=⎜⎟ ++⎝⎠ 5/62/32/32/32/3222 222223 23+=== ++ ×

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้619 5. ¡ÒÃ¾i¨ÒÃ³Ò¤ÇÒÁµoe¹o§¢o§¿§¡ª¹ ³ ¨´ã´æ ¤oื è auื¡ÒÃºo¡ÇÒ¡ÃÒ¿¢o§¿§¡ª¹¢Ò´µo¹·Õè¨´¹¹ËÃoäÁ ´Â auaéืoÊÒËÃaº¿§¡ª¹ í af(x) ã´æ ¨ µoe¹o§·Õè a ื èxa= ¡çµoeÁèo ืxaxalim f(x)f(a)lim f(x)−+ →→ ==e·Ò¹¹ (µo§ËÒ¤Òä´·§ oÂÒ§ Å ¤Ò·ä´e·Ò¡a¹ËÁ´) aéaé3æ aÕè µaÇoÂÒ§ ¿§¡ª¹µoä»¹ÕéÁÕ¤ÇÒÁµoe¹o§·Õè aื èx2= ËÃoäÁ ื2x4 f(x)x2 − =−æÁÇÒ¨ ËÒ ax2lim f(x)→ ä´ ´Â¡ÒÃ Â¡µÇ»Ã ¡oº (ä´ÅiÁiµ oæaae»¹ ) µ·¨Ãi§ ÅÇ 4æ Õèæ f(2) äÁ¹ÂÒÁ e¾ÃÒ ÊÇ¹e»¹È¹Â ia Ù´a§¹¹¿§¡ª¹¹äÁµoe¹o§ ·Õè aé aÕé ื èx2=2x4, x2f(x)x24, x2⎧ −≠⎪= ⎨ −⎪=⎩¤Ò¢o§ f(2)4 = (e§o¹ä¢ÅÒ§) ื èËÒ x2limf(x)→ ´Âe§o¹ä¢º¹ ä´e»¹ oื è x2lim(x2)4→ +=´a§¹¹¿§¡ª¹¹Õéµoe¹o§ ·Õè aé aื èx2=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 620 µaÇoÂÒ§ ¿§¡ª¹¹ÕéÁÕ¤ÇÒÁµoe¹o§·Õè¨´ã´ºÒ§ a ืèu2x9, x3g(x)x32, x3⎧−>⎪= ⎨ −⎪⎩<¾i¨ÒÃ³Ò·Õè¤Ò e»¹ e·Ò¹aé¹ e¾ÃÒ ¿§¡ªa¹ Â¡¡Ã³Õ·Õèx3a æ¨´¹Õé¨´e´ÕÂÇ («è§oÒ¨ÁÕ¡ÒÃ¢Ò´µo¹e¡i´¢é¹) uuึึe¹o§¨Ò¡ ื èx3x3(x3)(x3)lim g(x)lim6(x3)++ →→−+==−æ aÅ x3lim g(x)g(3) 2− →==ÅiÁiµ«ÒÂ, ¢ÇÒ Å ¤Ò¿§¡ª¹ ³ ¨´¹¹ äÁe·Ò¡a¹·§ËÁ´ æ a auaé aé¨§ÊÃu»ÇÒ.. ¿§¡ª¹¹Õéµoe¹o§·¡¨´ Â¡eÇ¹¨´«è§ ึ aื èuuuึx3=µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ·Õè·íÒãË¿§¡ª¹ a a21x , x (,1)f(x)xa, x[1, )⎧ −∈ − ∞ = ⎨ +∈∞ ⎩ e»¹¿§¡ª¹µoe¹o§ aื è¿§¡ª¹¹Õéµoe¹o§·Õè aื èx1= ´ÇÂ æÊ´§ÇÒ x1limf(x)f(1)−→= oÂÒ§ ¹¹o¹ æ ´a§¹¹ aé2111 a−=+ .. ¡ÊÁ¡ÒÃä´ æ a1=−

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้621 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò ·Õè·ÒãË¿§¡ª¹ bí a2x5x2 b 2, x1, 1 x2f(x) x 5 , x2−−− ⎧⎪⎪< <= ⎨⎪⎪−⎩<> µoe¹o§·Õè ื èx2=æ aÅ ¶ÒÁÇÒ¤Ò ·Õèä´¹Õé ·íÒãË bf(x) µoe¹o§·Õè ื èx1=´ÇÂËÃoäÁ e¾ÃÒ eËµã´ ืau¿§¡ª¹¹Õéµoe¹o§·Õè aื èx2= Ê´§ÇÒ æx2lim f(x) f(2)− →=´a§¹¹ aé2252522b− =−−−¹¹¤o aèื31b=− − ... ¨ ä´ ab3=¾i¨ÒÃ³Ò·Õè x1= .. ¨ ä´ af(1)2 =æ aÅ ä´ x1154limf(x)212313+→−=== − −− −æÊ´§ÇÒ¤Ò b3= ¹ ·ÒãË Õéíf(x) äÁµoe¹o§ ·Õè ื èx1=e¾ÃÒ ax1f(1)lim f(x)+→ ≠ËÃo¨ µoºÇÒ e¾ÃÒ äÁÁÕÅiÁiµ ¡çä´ ืa ae¹o§¨Ò¡ÅiÁiµ«ÒÂe»¹ µÅiÁiµ¢ÇÒe»¹ ื è2æ - 2

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 622 6. ¹ÂÒÁ¢o§¤ÇÒÁµoe¹o§º¹ªÇ§ iื è ¿§¡ª¹ af(x) µoe¹o§º¹ªÇ§e»´ ื è(a,b) ¡çµoeÁèo ืf(x) µoe¹o§·¡æ ¨´ã¹ªÇ§ ื èuu(a,b) ¿§¡ª¹ af(x) µoe¹o§º¹ªÇ§»´ ื è[a,b] ¡çµoeÁèo ื(1)f(x) µoe¹o§º¹ªÇ§e»´ ื è(a,b)(2)f(x)µoe¹o§·Ò§¢ÇÒ¢o§ ื èa [¤o ืxaf(a)lim f(x)+ → =] æ aÅ (3)f(x)µoe¹o§·Ò§«ÒÂ¢o§ ื èb [¤o ืxbf(b)lim f(x)− → =] µaÇoÂÒ§ ¡íÒË¹´ãË f(x) mx 1=+ eÁèo e»¹¤Ò¤§· ืm Õèæ aÅ f(x) , x1g(x)f(x 1) , x11, x1<⎧⎪= + ⎨ > ⎪−= ⎩ ¶Ò g(x) ÁÕÅiÁiµ·Õè x1 = ÅÇ ÁÕ¤Òe·Òã´ æ m g(x) ÁÕÅiÁiµ·Õè x1 = Ê´§ÇÒ æx1x1lim g(x)lim g(x)−+ →→=¹¹¤o aèืf(1)f(1 1)=+¨ ä´ af(1)f(2)m 1 2m 1m 0=→+ =+→=

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้623 ¶Ò g(x)µoe¹o§º¹ªÇ§ ื è[0,1] ÅÇ ÁÕ¤Òe·Òã´ æ m g(x) µoe¹o§º¹ªÇ§ ื è[0,1] Ê´§ÇÒ æx1lim g(x)g(1)−→=¹¹¤o aèืf(1)1m 11m2=−→ +=−→ =− ¶Ò g(x)µoe¹o§º¹ªÇ§ ื è[1,2] ÅÇ ÁÕ¤Òe·Òã´ æ m g(x) µoe¹o§º¹ªÇ§ ื è[1,2] Ê´§ÇÒ æx1lim g(x)g(1)+→=¹¹¤o aèืf(2)12m 11m1=−→+ =−→=−7. oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§ ´Âe©ÅÂ¢o§ e·Âº¡aº aÕèæoÕèyÕx(ã¹ªÇ§ ¶§ xึx+h ã´æ) ¤o ืf(x h) f(x)h+ − ËÃo ืyx ΔΔæ aÅ eÁèoººªÇ§ ãË ¤ºÅ§¨¹ã¡Å ¡ç¨ ä´oaµÃÒ¡ÒÃืÕhæ0ae»ÅÂ¹ »Å§ ³ ¨´ ·Õè¡íÒË¹´ Õèæux´a§¹¹ oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§ (·Õè¨u´ ã´æ) ¤o aéaÕèæyxืh0f(x h) f(x)limh→+ − ËÃo ืx0y limxΔ→ΔΔ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 624 µaÇoÂÒ§ ¶Ò f(x)1x =ãËËÒoµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§e©ÅÂ¢o§ aÕèæÕèf(x) e·Âº¡aº Õx ã¹ªÇ§ x4 = ¶§ ึx5=¨ ä´ a1154y1x5 420−Δ== −Δ− ã¹ªÇ§ x4 = ¶§ ึx4.5 =¨ ä´ a114.54y1x4.5 418−Δ== −Δ− ã¹ªÇ§ x4 = ¶§ ึx4.01 =¨ ä´ a114 4.01y1x4.01 416.04−Δ== −Δ− ·Õè¨´«è§ uึx4 =´Ù ¹Ç ¹Á (ÅiÁiµ) ¨Ò¡¢o·Õè¼Ò¹ÁÒ ¨ ä´¤íÒµoºe»¹ æ oa116 −ËÃo¤íÒ¹Ç³ãËÁä´´a§¹..ื Õéx0h0114 4hy limlimx(4 h) 4Δ→→+⎡⎤−Δ ⎢⎥ =Δ+ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦h0h0h(4 h)(4)11limlimh(4 h)(4)16→→−+⎡⎤ −⎡⎤⎢⎥=== − ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣ +⎦⎣⎦

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้625 µaÇoÂÒ§ ¶Ò 2yf(x)2x3x 4==+−ãËËÒoµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§ e·Âº¡aº aÕèæyÕx ´Âe©ÅÂã¹ªÇ§ oÕèx1 = ¶§ ึ4¨ ä´e»¹ a yf(4) f(1)40 113x4 14 1Δ−−===Δ−−(ËÁÒÂ¤ÇÒÁÇÒ ã¹ªÇ§·Õè¡íÒË¹´¹ eÁèo e¾ièÁ¢é¹ Ë¹ÇÂÕéืxึ1æÅÇ ¨ e¾ièÁ¢é¹»Ã ÁÒ³ Ë¹ÇÂ) yaึa13 ·Õè¨´«è§ uึx2 =¨ ä´e»¹ a x0h0yf(2 h) f(2)limlimx(2 h) 2Δ→→Δ+ − =Δ+ − 2h0[2(2 h)3(2 h) 4] 10limh→++ +−−=→→+==+ = 2h0h011h 2hlimlim (11 2h)11hËÃo¤íÒ¹Ç³ ´Âµi´¤Ò ã´æ äÇ¡o¹ ืox æÅÇ¨§ ·¹¤Ò ึæx2 = Å§ä»·ËÅ§¡çä´ ´a§¹.. ÕaÕé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 626 x0h0yf(x h) f(x)limlimx(x h) xΔ→→Δ+ − =Δ+ − 22h0[2(x h)3(x h) 4] [2x3x 4]limh→++ +−− + −=222h02x4xh 2h3x 3h 4 2x3x 4limh→+ + ++−− −+=2h0h04xh 2h3hlimlim (4x 2h 3)h→→ ++== + + 4x 3=+oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§ e·Âº¡aº ³ ¨´ ã´æ aÕèæyÕxuxe·Ò¡aº 4x 3+ .. Ê´§ÇÒ·Õè¨´ æux2 = ¨ ä´oµÃÒ¡ÒÃaae»ÅÂ¹ »Å§e·Ò¡aº Õèæ4(2) 3 11+= ¹¹eo§ aèµaÇoÂÒ§ ãËËÒoµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§»ÃiÁÒµÃ·Ã§¡ÅÁaÕèæe·Âº¡aºÃaÈÁÕ Õ ´Âe©ÅÂeÁèoÃaÈÁÕe»ÅÂ¹¨Ò¡ ¶§ Ë¹ÇÂ oÕèืÕè2ึ3ÊµÃ»ÃiÁÒµÃ·Ã§¡ÅÁ¤o Ùื343Vr=π´a§¹¹ aéVV(3) V(2)r3 2Δ− =Δ− 337644333(3)(2)=−=πππ Åº.Ë¹ÇÂ/Ë¹ÇÂ

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้627 ¢³ ·ÕèÃaÈÁÕe·Ò¡aºa 2.5 Ë¹ÇÂ ÊµÃ»ÃiÁÒµÃ·Ã§¡ÅÁ¤o Ùื343Vr=π´a§¹¹ aér0h0VV(2.5 h) V(2.5)limlimrhΔ→→Δ+ − = Δ33h04433(2.5 h)(2.5)limh→+−=ππ23h043(18.75h 7.5hh )limh→++=π2h043 lim(18.75 7.5h h )→=+ + π75433(18.75)== ππ Åº.Ë¹ÇÂ/Ë¹ÇÂ 8. oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§ aÕèæyf(x)= ·Õè¨´ x ã´æ ueÃÕÂ¡o¡oÂÒ§ä´ÇÒ o¹u¾a¹¸ Õ ´a§¹¹ o¹u¾a¹¸¢o§ aéf(x) ¡ç¤o ืh0f(x h) f(x)limh→+ −¹o¡¨Ò¡¹¹Â§¶oe»¹¤Ò ¤ÇÒÁªa¹(¢o§eÊ¹ÊÁ¼Ê) ¢o§aéaื aa¡ÃÒ¿ yf(x)= ³ ¨´¹¹æ ´ÇÂ uaé

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 628 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§·Õè¼Ò¹ÁÒ«è§ aึ2y2x3x 4=+−eÁèo¤íÒ¹Ç³ ´Âµ´¤Ò ã´æ äÇ¡o¹ ¨ ä´oµÃÒ¡ÒÃืoix aae»ÅÂ¹ »Å§¢o§ e·Âº¡aº ³ ¨´ã´æ e·Ò¡aº ÕèæyÕxux0h0yf(x h) f(x)limlim4x 3x(x h) xΔ→→Δ+ −== + Δ+ −.. Ê´§ÇÒ o¹u¾a¹¸¢o§ æ 22x3x 4+− ื ¤o 4x 3+ Ê Å¡É³·ãª ·¹o¹u¾a¹¸¢o§ aaÕèæf(x) ä´ ¡ æf(x) ′ËÃo ืdydx ËÃo ืf(x) ddx ËÃo ¡çä´ ืy ′ Ê Å¡É³·ãªe¨Ò ¨§µíÒ Ë¹§ eª¹ aaÕèaæo¹u¾a¹¸·Õè¨´«è§ uึx3 = ¨ ãª af(3) ′ ËÃo ืx3 dydx=µaÇoÂÒ§ ¶Ò 2yf(x)2x3x 4==+−¨ ä´o¹u¾a¹¸e»¹ a 4x 3+ (e¤Â¤íÒ¹Ç³äÇ ÅÇ´ÇÂÅiÁiµ) æe¢ÕÂ¹e»¹Ê Å¡É³ä´ÇÒ aa 4x 3 dydx=+ ËÃo ืf(x)4x 3′ =+æ aÅ ³ ¨´«è§ uึx2 = ¨ ä´ ax24(2) 3 11dydx==+= ËÃo ืf (2)4(2) 3 11′ =+=

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้629 µaÇoÂÒ§ ¶Ò 2y3 x 2x=+− e»¹ÊÁ¡ÒÃeÊ¹ ¤§ ãËËÒ o ¤ÇÒÁªa¹¢o§eÊ¹ ¤§¹Õé·Õè¨´ ou(1,2)[]22h03(x h) 2(x h)3 x 2xdylimdxh→⎡⎤ + +− + − +−⎣⎦ =→−−== −2h0h4xh2hlim1 4xhe»¹¤ÇÒÁªa¹ ³ ¨´ ã´æ ux´a§¹¹¤ÇÒÁªa¹·Õè¨´ aéu(1,2) e·Ò¡aº x114(1)3dydx==−= − ÊÁ¡ÒÃeÊ¹ÊÁ¼Ê ¤§ ³ ¨´e´ÕÂÇ¡a¹¹Õé aaou¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃeÊ¹µÃ§ã¹eÃèo§eÃ¢Ò¤³iµÇie¤ÃÒ Ë ¤o ืa ื11yym(xx )−= −æ·¹¤Ò¤ÇÒÁªa¹ Å ¨u´·ÕèeÊ¹µÃ§¼Ò¹¤o - 3æ aื(1,2)¨ ä´ ay23(x 1)−= −−¹¹¤o aèืy3x 5=−+´a§¹¹ÊÁ¡ÒÃeÊ¹ÊÁ¼Ê ¤§·Õèµo§¡ÒÃ¤o aéaaoืy3x 5=−+

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 630 9. ÊµÃã¹¡ÒÃËÒo¹u¾a¹¸ Ù(1) o¹u¾a¹¸¢o§¿§¡ª¹¡íÒÅ§µÒ§æ aax1ddx= Å æ ann 1xnxddx−=(2) o¹u¾a¹¸¢o§¤Ò¤§· ¨ e·Ò¡aº Õèa0c0ddx=(3) ÊÒÁÒÃ¶´§ÊÁ»Ã Ê·¸oo¡ÁÒä´ ึaa iiìcf(x) cf(x)dddxdx =(4) ¨¡ ¨§ä´ÊÒËÃaº¡ÒÃºÇ¡Åº æ æí[]f(x) g(x)f (x) g (x)ddx′′±=±(5) ÊÒËÃaº¡ÒÃ¤Ù³ Å ¡ÒÃËÒÃ ¨ µo§ãªÊµÃ´a§¹.. íæ aa ÙÕé[]f(x) g(x)f(x)g (x) g(x)f (x)ddx′′⋅= +æ aÅ []2f(x)g(x)f (x) f(x)g (x)g(x)g(x)ddx′ ⎤′ −⎡ =⎢⎥ ⎣⎦µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤Ò nnh0(x h)xlimh→⎛⎞ +−⎜⎟ ⎝⎠

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้631 ¶Ò¤i´´ÇÂÅiÁiµ ººµÃ§æ ¨ µo§¡Ã ¨ÒÂ æa an(x h)+ ´ÇÂ ·ÄÉ®Õº··Çi¹ÒÁ («è§ä´¼Åoo¡ÁÒÂÒÇÁÒ¡) ึ .. µe¹o§¨Ò¡¾ºÇÒ oÂã¹ÃÙ» ºº¹ÂÒÁ¢o§o¹u¾a¹¸¾o´Õ æ ืèÙ æi´a§¹¹¤íÒµoº¡ç¤oo¹u¾a¹¸¢o§ aéืnx ..¹¹¤o aèืn1nx−ÊÃu»ÇÒ nnn1h0(x h)xlimn xh−→⎛⎞ +− =⎜⎟ ⎝⎠µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤ÇÒÁªa¹¢o§eÊ¹ÊÁ¼aÊ ¤§ ao23y2x 3xx=− + ·Õè¨´ u(4,24)ãªÊµÃËÒo¹u¾a¹¸ ¨ ä´ Ùa223(2x) (3x ) dydx=−+´a§¹¹ aéx4224 4826dydx==−+=æÊ´§ÇÒ¤ÇÒÁªa¹¢o§eÊ¹ÊÁ¼aÊ ¤§ ³ aox4 = ¡ç¤o ื26µaÇoÂÒ§ ¶Ò 2f(x) (2x 1)(3x2)=+ − ãËËÒ¤Ò f(x) ′ãªÊµÃËÒo¹u¾a¹¸¢o§¼Å¤Ù³ ´a§¹ ÙÕé22f (x) (2x 1)(6x) (3x2)(2)18x6x 4′ =+ +− = +−µaÇoÂÒ§ ãËËÒo¹u¾a¹¸¢o§¿§¡ª¹µoä»¹Õé a2f(x)x5=−¨ ä´ af (x) (2 x) (0)2x′=−=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 632 35f(x)2x x−=− ¨ ä´ a4444f (x)2(5x ) ( 3x )10x3x−− ′=− −=+2f(x)312xx=+ +e¢ÕÂ¹ã¹ÃÙ»eÅ¢Â¡¡íÒÅ§¤o aื12f(x)x2x3−− =+ +´a§¹aé¹2323f(x) ( 1x ) 2( 2 x ) (0)14xx−− ′=−+−+= −−3f(x) 8 x6 x=−e¢ÕÂ¹ã¹ÃÙ»eÅ¢Â¡¡íÒÅ§¤o aื1/21/3f(x) 8x6x=−´a§¹¹ aé2/31/22/31123f(x)8( x) 6( x)42x x−− ′=−=−42f(x) (2x 1)(xx 1)=+++¨ ä´ a423f (x) (2x1)(2x 1) (xx 1)(8x )′ =+++++54312x10x8x2x 1=++++224x 7x 1 f(x)3x 8 ++=+¨ ä´ a2222(3x8)(8x 7) (4x7x 1)(6x)f(x)(3x8)++−++′=+22221x58x56(3x8)−++=+

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้633 10. o¹u¾a¹¸¢o§¿§¡ª¹»Ã ¡oº (¡®ÅÙ¡ «) aaog(f(x))dg dfddxdf dx=⋅ ËÃoe¢ÕÂ¹ ºº¿§¡ª¹e»¹ ืæ a(g f) (x) g (f(x)) f (x) ′′′=⋅ D ¡®ÅÙ¡ «¹oÒ¨¨ e¢ÕÂ¹ÂÒÇ¡Õè·o´¡çä´ oÕéaeª¹ dgdg dh df dxdtdh df dx dt=⋅⋅⋅µaÇoÂÒ§ ¶Ò 3/2f(x) (2x 1)=+ ãËËÒ¤Ò f(4) ′¡ÒÃËÒo¹u¾a¹¸´ÇÂ¡®ÅÙ¡ « ..ãËÁo§ o2x+1 e»¹µaÇ »Ãæ´ÇÂ¡a¹¡o¹Ë¹§¡o¹ Å eÁèoËÒo¹u¾a¹¸ ÅÇ ¨ µo§¤Ù³ึ èæ aื æa ¡aºo¹u¾a¹¸¢o§ 2x+1 ´ÇÂ ¹¹¤o aèื1/2f (x)(2x1)23 2x132′=+⋅=+..´a§¹¹ aéf(4)3 2(4) 19′=+= µaÇoÂÒ§ ¶Ò 222(1 3x ) f(x)13x − =+ ãËËÒoµÃÒ¡ÒÃ ae»ÅÂ¹ »Å§¢o§ Õèæf(x) e·Âº¡aº ¢³ ·Õè Õxax1 =oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§·¡ÅÒÇ¶§¡ç¤o aÕèæÕèึืf(x) ′¢o¹ãªÊµÃËÒo¹u¾a¹¸¢o§¼ÅËÒÃ ÃÇÁ¡aº¡®ÅÙ¡ « ´a§¹Õé ÕéÙo

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 634 222 222(1 3x ) 2(1 3x )( 6x) (1 3x ) (6x)f(x)(1 3x )+⋅−−−−⋅′=+¨Ò¡¹aé¹ ·¹¤Ò æx1 = ·¹· (äÁ¨Òe»¹µo§¨´ÃÙ»¡o¹) aÕí a¨ ä´ af(1)4.5′=¨§µoºÇÒ oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§ ึaÕèæf(x) ¢³ ·Õè ax1 =e·Ò¡aº 4.511. ËÒ¡eÃÒËÒo¹u¾a¹¸¢o§ f(x) ′ µoä»o¡ ¨ eÃÕÂ¡ÇÒe»¹Õa o¹u¾a¹¸o¹´aºÊ§ aÙ ¡ÒÃe¢ÕÂ¹Ê Å¡É³ o¹u¾a¹¸o¹´aº·Õè ¨ ãªe»¹ a aana nn dydx ËÃo ื(n)f(x)æµo¹´aº·Ë¹§ Êo§ Å ÊÒÁ ¹ÂÁãªe¤Ãèo§ËÁÒÂ¢Õ´ e»¹ aÕèึ èæ aiืf (x), f (x), f (x)′′ ′′ ′ ′µaÇoÂÒ§ ¶Ò 32f(x)yx 2xx 5= = − ++¨ ËÒo¹u¾a¹¸ä´e»¹ a 2f(x)3x 4x 1 dydx′==−+´a§¹¹o¹u¾a¹¸o¹´aºÊo§ ¤o aéaื22f(x)6x 4 dydx′′ ==−o¹u¾a¹¸o¹´aºÊÒÁ ¤o aื33f(x)6 dydx′′′ ==

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้635 o¹u¾a¹¸o¹´aºÊ ¤o aÕèื(4)44f(x)0 dydx==** µÇoÂÒ§·Â¡ÁÒe»¹¾Ë¹ÒÁ´Õ¡ÃÕ ¨ eË¹ä´ÇÒ aÕèu3aç o¹u¾a¹¸o¹´aº·ÕèÊÕè¢é¹ä»ÅÇ¹ÁÕ¤Òe»¹ aึ 0µaÇoÂÒ§ ¶Ò 3/2f(x) (2x 1)=+ ãËËÒ¤Ò f(4) ′′¨Ò¡¡®ÅÙ¡ « o1/21/2f(x)(2x 1)23(2x 1)32′=+⋅=+¨§ä´ ึ 1/23f (x) 3( )(2x 1)22x 112−′′=+⋅ = +(ãª¡®ÅÙ¡ «o¡¤Ãaé§Ë¹§) oÕึ è´a§¹¹ aé3f(4)12(4) 1′′==+ ¤ÇÒÁËÁÒÂ¢o§o¹u¾a¹¸o¹´aº·Ë¹§ (ËÃo aÕèึ èืf(x) ′) ¹¹¤o ¤ÇÒÁªa¹ (oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§¤Ò y) aéื aÕèæÊÇ¹o¹u¾a¹¸o¹´aº·Êo§ (ËÃo aÕèืf(x) ′′) ¨ ¡ÅÒÂe»¹ aoµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§¤ÇÒÁªa¹ aÕèæµaÇoÂÒ§ ã¹µÇoÂÒ§· ÅÇ aÕèæ 3/2f(x) (2x 1)=+«è§¤íÒ¹Ç³ä´ ึf(4)9′= Å æ af(4) 1 ′′=

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 636 æ»ÅÇÒ ¤ÇÒÁªa¹eÊ¹ ¤§ ³ ¨´«è§ ouึx4 = ÁÕ¤Òe·Ò¡aº 9æ aÅ oµÃÒ¡ÒÃe»ÅÂ¹ »Å§¢o§¤ÇÒÁªa¹eÊ¹ ¤§ ³ ¨´«è§ aÕèæouึx4 = ÁÕ¤Òe·Ò¡aº 112. e¹o§¨Ò¡o¹u¾a¹¸¤o¤ÇÒÁªa¹¢o§eÊ¹¡ÃÒ¿ ´a§¹¹ªÇ§ื è ืaé·Õè f(x) 0 ′> ¨ e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ Å ªÇ§·Õè a aæ af(x) 0 ′<¨ e»¹¿§¡ª¹Å´ a a µíÒ Ë¹§·Õè¿§¡ª¹¨ e»ÅÂ¹¨Ò¡e¾ièÁä»e»¹Å´ ËÃoæ aaÕèื¨Ò¡Å´ä»e»¹e¾ièÁ ÂoÁÁÕ¡ÒÃÇ¡¡Åº¢o§¡ÃÒ¿ Å ·ÒãËe¡i´aæ aí¨´Âo´¢é¹ «è§eÃÕÂ¡ÇÒ¨´Ê§Ê´ÊÁ¾a·¸ ËÃo¨´µÒÊu´uึึuÙuaืuèíÊÁ¾a·¸ (ÁÕä´ËÅÒÂ¨´) auÊÒÁÒÃ¶ËÒµíÒ Ë¹§¨´Âo´¹¹ä´ ´Â ¡ÊÁ¡ÒÃ æuaéo æf(x) 0 ′=æ aÅ ¤Ò ³ ¨´¹¹eÃÕÂ¡ÇÒ ¤ÒÇi¡Äµ xuaé ¨´·ÕèÁÕ¤Ò¿§¡ª¹ÁÒ¡·ÕèÊ´ËÃo¹oÂ·Êu´¢o§¡ÃÒ¿oÂÒ§u auื Õèæ·¨Ãi§ ¨ eÃÕÂ¡ÇÒ¨´Ê§Ê´ÊÁºÃ³ ËÃo¨´µÒÊ´ÊÁºÃ³ auÙuaÙืuèíuaÙ«è§¨ ÁÕä´e¾ÕÂ§oÂÒ§Å ¨u´e·Ò¹aé¹ ึaa1µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÃÒ¿·Õè¡íÒË¹´ãË ¨´Ê§Ê´ÊÁ¾a·¸ä´ ¡¨´ uÙua æuA, C, E ÊÇ¹¨´Ê§Ê´ÊÁºÃ³¤o¨´ e·Ò¹¹ uÙuaÙ ืuCaé¨´µÒÊ´ÊÁ¾a·¸ä´ ¡¨´ uèíua æuB, D Å ¨´µÒÊ´ÊÁºÃ³äÁÁÕ æ auèíuaÙ

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้637 y x A B C D E O a b c d e e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ ã¹ªÇ§ a−∞∪∪(,a][b,c] [d,e]æ aÅ e»¹¿§¡ª¹Å´ ã¹ªÇ§ a∪∪∞ [a,b] [c,d][e, )** ªÇ§·e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ/¿§¡ª¹Å´ ¨ e¢ÕÂ¹e»¹ªÇ§e»´Õè a aa ËÃoªÇ§»´¡çä´ (ã¹ µÅ µÒÃÒ¹ÂÒÁäÇµÒ§¡a¹) ื æ a íi µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤ÒÊ§Ê´ µÒÊ´¢o§¿§¡ª¹ (·aé§ ººÙuèíu aæÊÁ¾a·¸ Å ÊÁºÃ³) Å Ã ºuªÇ§·e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ Å Å´ aæ aaÙæ a aÕè aæ a¢o§¿§¡ª¹µoä»¹Õé a2f(x)x4x 5=−+ËÒ¨´Ê§Ê´ µÒÊ´ ´ÂãË¤ÇÒÁªa¹e»¹ uÙuèíuo0¹¹¤o aèืf(x)2x40′=−= ¨ ä´ ax2=æ aÅ ËÒ¤Ò f(2) ä´e·Ò¡aº 1æÊ´§ÇÒ¨´ u(2,1) e»¹¨´Âo´ (Ê§Ê´ËÃoµÒÊ´) uÙuืèíu

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 638 ·´Åo§ËÒ¤Ò f(0) 5= «è§ÁÕ¤ÒÁÒ¡¡ÇÒ ึ1æÊ´§ÇÒ¨´ u(2,1) e»¹¨´µÒÊ´ÊÁ¾a·¸ uèíuaÇÒ´¡ÃÒ¿¤ÃÒÇæ ä´´a§ÃÙ» ´a§¹¹¤íÒµoºä´ ¡ aé æ¤ÒÊ§Ê´ÊÁ¾a·¸äÁÁÕ ¤ÒÊ§Ê´ÊÁºÃ³ËÒ¤ÒäÁä´ Ùua ÙuaÙ ¤ÒµÒÊ´ÊÁ¾a·¸ Å µÒÊ´ÊÁºÃ³ e·Ò¡aº èíuaæ aèíuaÙ 1e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁã¹ªÇ§ a∞[2, ) Å Å´ã¹ªÇ§ æ a−∞(,2]ËÁÒÂeËµu ¿§¡ª¹ã¹¢o¹e»¹¿§¡ª¹¡íÒÅ§Êo§ aÕé aa(¾ÒÃÒ ºÅÒ) ÊÒÁÒÃ¶ãªÊµÃ oÙB2Ax=− ã¹¡ÒÃËÒ¨´ uÂo´ Å ´ÙÇÒË§ÒÂËÃo¤ÇèíÒä´¨Ò¡e¤Ãèo§ËÁÒÂ¢o§ ¨§äÁæ aืืAึ µo§¤i´´ÇÂo¹u¾a¹¸eÅÂ¡çä´ 32f(x)2x 3x12x 7=+−−ËÒ¨´Ê§Ê´ µÒÊ´ ´ÂãË¤ÇÒÁªa¹e»¹ uÙuèíuo0¹¹¤o aèื2f (x)6x6x 12 0′ =+−=æÂ¡µÇ»Ã ¡oºä´ aa6(x 1)(x 2)0−+=´a§¹¹ä´¤ÒÇi¡Äµe»¹ aé x1= ËÃo ื- 2ËÒ¤Ò f(1) ä´e·Ò¡aº -14æ aÅ ËÒ¤Ò f( 2)− ä´e·Ò¡aº ..«è§ 13ึ14 13−<(2,1)

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้639 æÊ´§ÇÒ¨´ u(1, 14)- e»¹¨´µÒÊ´ÊÁ¾a·¸ uèíuaæ aÅ ¨´ u( 2,13)- e»¹¨´Ê§Ê´ÊÁ¾a·¸ uÙuaÇÒ´¡ÃÒ¿¤ÃÒÇæ ä´´a§ÃÙ» (¶Òµo§¡ÒÃe¢ÕÂ¹¡ÃÒ¿ãË Å eoÂ´ ¡ç·Òä´ ´Â ·¹¤Ò aÕío æx µÒ§æ eª¹ x0= e¾èoËÒ¨´·¡ÃÒ¿¼Ò¹) ืuÕè´a§¹¹¤íÒµoºä´ ¡ aé æ¤ÒÊ§Ê´ÊÁ¾a·¸e·Ò¡aº ¤ÒÊ§Ê´ÊÁºÃ³ËÒ¤ÒäÁä´ Ùua 13ÙuaÙ ¤ÒµÒÊ´ÊÁ¾a·¸e·Ò¡aº èíua -14 ¤ÒµÒÊ´ÊÁºÃ³ËÒ¤ÒäÁä´ èíuaÙ e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁã¹ªÇ§ a−∞ −∪∞(, 2][1, )æ aÅ e»¹¿§¡ª¹Å´ã¹ªÇ§ a−[2,1]42f(x)x2x3=− +ËÒ¨´Ê§Ê´ µÒÊ´ ´ÂãË¤ÇÒÁªa¹e»¹ uÙuèíuo0¹¹¤o aèื3f(x)4x4x0′ =−=æÂ¡µÇ»Ã ¡oºä´ aa4(x)(x 1)(x 1) 0 −+=´a§¹¹ä´¤ÒÇi¡Äµe»¹ aé x1=− ËÃo ËÃo ื0ื1ËÒ¤Ò f( 1)− ä´e·Ò¡aº , ¤Ò 2f(0) e·Ò¡aº , 3æ aÅ ¤Ò f(1) e·Ò¡aº 2..«è§ ึ23< Ê´§ÇÒ¨´ æu(0,3) e»¹¨´Ê§Ê´ÊÁ¾a·¸ uÙua(1, 14) -( 2,13) -

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 640 æ aÅ ¨´ u( 1,2)- ¡aº¨´ u(1,2) e»¹¨´µÒÊ´ÊÁ¾a·¸ uèíuaÇÒ´¡ÃÒ¿¤ÃÒÇæ ä´´a§ÃÙ» ´a§¹¹¤íÒµoºä´ ¡ aé æ¤ÒÊ§Ê´ÊÁ¾a·¸e·Ò¡aº Ùua 3 ¤ÒÊ§Ê´ÊÁºÃ³ËÒ¤ÒäÁä´ ÙuaÙ ¤ÒµÒÊ´ÊÁ¾a·¸ Å µÒÊ´ÊÁºÃ³e·Ò¡aº èíuaæ aèíuaÙ 2 e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁã¹ªÇ§ a−∪∞ [1,0][1,)æ aÅ e»¹¿§¡ª¹Å´ã¹ªÇ§ a−∞ − ∪(, 1] [0,1]13. µíÒ Ë¹§·Õè æf(x)0′= (ËÃo·eÃÕÂ¡ÇÒ¤ÒÇi¡Äµ) ¹¹ ืÕè aéoÒ¨äÁãª¨´Ç¡¡ÅºeÊÁoä» µoÒ¨e»¹¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ uaæ uÕè«è§ÁÕÇi¸Õ¾i¨ÒÃ³Ò´a§¹ ึÕé Çi¸oÂÒ§§ÒÂ·ÕèÊ´¤o ¶ÒÊÁ¡ÒÃ Õ uืf(x)0′= ãË¤Ò Çi¡ÄµäÁ«éíÒ¡a¹eÅÂ ¨ äÁÁÕ¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ (e»¹¨´Ê§Êu´auÕèuÙµÒÊ´·§ËÁ´) µ¶ÒÁÕ¤ÒÇi¡Äµ·Õè«éíÒ¡a¹e»¹¨Ò¹Ç¹¤Ãaé§¤Ù èíuaéæ í(eª¹ ÁÕ¤íÒµoºe»¹ x1= oÂ ¤íÒµoº) ¤Ò¹¹¨ e»¹Ù 2aéa¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ uÕèµaÇoÂÒ§ ã¹µÇoÂÒ§· ÅÇ ·§ ¿§¡ª¹äÁÁÕ¨´e»ÅÂ¹aÕèæ aé3 auÕè¤ÇÒÁeÇÒ e¾ÃÒ äÁÁÕ¤ÒÇi¡Äµ·ä´oo¡ÁÒ«éíÒ¡a¹ a Õè(0,3) ( 1,2) -(1,2)

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้641 µaÇoÂÒ§ ãËËÒ¤ÒÊ§Ê´ µÒÊ´¢o§¿§¡ª¹ (·aé§ ººÙuèíu aæÊÁ¾a·¸ Å ÊÁºÃ³) Å Ã ºuªÇ§·e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁ Å Å´ aæ aaÙæ a aÕè aæ a¢o§¿§¡ª¹µoä»¹Õé a53f(x)2x 30x=−ËÒ¨´Ê§Ê´ µÒÊ´ ´ÂãË¤ÇÒÁªa¹e»¹ uÙuèíuo0¹¹¤o aèื42f(x) 10x90x0′=−=æÂ¡µÇ»Ã ¡oºä´ aa210(x )(x 3)(x 3) 0−+=´a§¹¹ä´¤ÒÇi¡Äµe»¹ aé x 0= ËÃo ËÃo ËÃo ื0ื3ื- 3¨ eË¹ä´ÇÒã¹¢o¹ÕéÁÕ¤ÒÇi¡Äµe»¹ «éíÒ¡a¹oÂÊo§¤Ãaé§ aç 0Ù æÊ´§ÇÒ·Õè x0= ¹¹e»¹¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ aéuÕèËÒ¤Ò f( 3)− ä´e·Ò¡aº 324, ¤Ò f(3) e·Ò¡aº -324, æ aÅ ¤Ò f(0) e·Ò¡aº 0ÇÒ´¡ÃÒ¿¤ÃÒÇæ ä´´a§ÃÙ» ´a§¹¹¤íÒµoºä´ ¡ aé æ¤ÒÊ§Ê´ÊÁ¾a·¸e·Ò¡aº Ùua 324 ¤ÒµÒÊ´ÊÁ¾a·¸e·Ò¡aº èíua -324 ¤ÒÊ§Ê´ÊÁºÃ³ Å µÒÊ´ÊÁºÃ³ ËÒ¤ÒäÁä´ ÙuaÙæ aèíuaÙ e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁã¹ªÇ§ a−∞ − ∪∞(, 3][3, )æ aÅ e»¹¿§¡ª¹Å´ã¹ªÇ§ a−[3,3](3, 324) -( 3,324) -(0,0)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 642 (1,2) 3f(x) (x 1)2=−+ËÒ¨´Ê§Ê´ µÒÊ´ ´ÂãË¤ÇÒÁªa¹e»¹ uÙuèíuo0¹¹¤o aèื2f(x)3(x 1)0′ =−=´a§¹¹ä´¤ÒÇi¡Äµe»¹ aé x 1= ËÃo ื1¨ eË¹ä´ÇÒã¹¢o¹ÕéÁÕ¤ÒÇi¡Äµe»¹ «éíÒ¡a¹oÂÊo§¤Ãaé§ aç 1Ù æÊ´§ÇÒ·Õè x1= ¹¹e»¹¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ aéuÕèËÒ¤Ò f(1) ä´e·Ò¡aº 2æ aÅ ·´Åo§ ·¹¤Òä´ æf(0) 1= Å æ af(2) 3=¨§ÇÒ´¡ÃÒ¿¤ÃÒÇæ ä´´a§ÃÙ» ึ´a§¹¹¤íÒµoºä´ ¡ aé æ¤ÒÊ§Ê´ÊÁ¾a·¸ Å µÒÊ´ÊÁ¾a·¸ äÁÁÕ Ùuaæ aèíua¤ÒÊ§Ê´ÊÁºÃ³ Å µÒÊ´ÊÁºÃ³ ËÒ¤ÒäÁä´ ÙuaÙæ aèíuaÙ æ aÅ e»¹¿§¡ª¹e¾ièÁã¹e«µ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ aíR ã¹ËÅ¡ÊµÃ ¡íÒË¹´ãË¾i¨ÒÃ³Ò¨Ò¡ oµÃÒ¡ÒÃaÙ ae»ÅÂ¹ »Å§¢o§¤ÇÒÁªa¹ ËÃo Õèæืf(x) ′′ ¡ÅÒÇ¤o.. ืeÁèo ื′=f(x) 0 Å æ af(x)0′′> ..¤ÇÒÁªa¹e»ÅÂ¹¨Ò¡Åºä»ºÇ¡ e¡i´¨´µÒÊ´ Õèuèíuf(x) 0 ′′< ..¤ÇÒÁªa¹e»ÅÂ¹¨Ò¡ºÇ¡ä»Åº e¡i´¨´Ê§Ê´ ÕèuÙuf(x)0′′= ..e»¹e¾ÕÂ§¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ äÁãª¨´Ç¡¡Åº uÕè ua

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้643 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¡µÇoÂÒ§· ÅÇ aÕèæ ¡Ã³Õ 53f(x)2x 30x=−«è§ÁÕ ึ42f(x) 10x90x′=−( Å ä´¤ÒÇi¡Äµe»¹ æ a x0= ËÃo ËÃo ) ื3ื- 3¨ ä´ a3f (x)40x180x′′=− ·ÒãË¾ºÇÒ íf(0)0′′= ¾o´Õ æÊ´§ÇÒ·Õè¨´ ux0= e»¹¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ uÕèÊÇ¹ f(3) 540 ′′= e»¹¤ÒºÇ¡ Ê´§ÇÒ¨´¹e»¹¨´µÒÊ´ æuÕéuèíuæ aÅ f ( 3)540′′ −=− ¤Òµ´Åº Ê´§ÇÒ¨´¹e»¹¨´Ê§Ê´ iæuÕéuÙu ¡Ã³Õ 3f(x) (x 1)2=−+«è§ÁÕ ึ2f(x)3(x 1)′ =−( Å ä´¤ÒÇi¡Äµe»¹ æ a x1= e·Ò¹¹) aé¨ ä´ af(x) 6(x 1) ′′ =− ·ÒãË¾ºÇÒ íf(1)0′′= ¾o´Õ æÊ´§ÇÒ·Õè¨´ ux1= e»¹¨´e»ÅÂ¹¤ÇÒÁeÇÒ uÕèæ aÅ e¹o§¨Ò¡äÁÁÕ¤ÒÇi¡Äµ¤Òo¹eÅÂ ื è ืè¿§¡ª¹¹Õé¨§äÁÁÕ¨´Ê§Ê´ÊÁ¾a·¸ Å ¨´µÒÊ´ÊÁ¾a·¸ aึ uÙuaæ auèíua

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 644 14. oÒÈÂ¤ÇÒÁÃÙeÃèo§¤ÒÊ§Ê´µÒÊ´¢o§¿§¡ª¹ ã¹¡ÒÃa ืÙuèíu a¤íÒ¹Ç³ ¨·Â» ËÒ·e»¹Ê¶Ò¹¡ÒÃ³.. eª¹ ÁÕ¿§¡ªa¹o Õè ¡íÒäÃe»¹ P(x) ÅÇãËËÒ¤Ò ·Õè·ÒãËä´¡íÒäÃÁÒ¡·ÕèÊ´ æ xí u.. ´ÂËÒ¨Ò¡ÊÁ¡ÒÃ oP(x)0ddx= ¹¹eo§ aèµaÇoÂÒ§ ªÒÇ¹Ò¤¹Ë¹§ÁÕÅÇ´Ë¹ÒÁÂÒÇ eÁµÃ ËÒ¡ึ è80µo§¡ÒÃãªÅoÁÃaéÇ·Õè´i¹ÃÙ»ÊeËÅÂÁ ¨Ò¹Ç¹ »Å§ ´a§ÃÙ» ÕèÕèí3æ¶ÒÁÇÒ¾é¹·ÃÇÁÁÒ¡·ÕèÊ´·ªÒÇ¹ÒÊÒÁÒÃ¶ÅoÁä´ e»¹e·ÒäÃ ืÕèuÕè ÊÁÁµiÅoÁ·Õè´i¹¡ÇÒ§ Å ¤ÇÒÁÂÒÇÃÇÁ¡a¹e»¹ xæ ahæµe¹o§¨Ò¡ÅÇ´ÂÒÇ eÁµÃ¤§·Õè ืè80¨§ä´ ึ 802h 4x=+ ..¹¹¤o aèืh40 2x=−´a§¹¹¾é¹·ÃÇÁ aéืÕè2Axhx(40 2x)40x 2x==−=−eÁèoe¢ÕÂ¹¿§¡ª¹ã¹ÃÙ»µaÇ »Ãµ¹µÇe´ÕÂÇ ÅÇ ¡çÊÒÁÒÃ¶ËÒ ื aæaæ o¹u¾a¹¸ä´ ..¹¹¤o aèื40 4x dAdx=−æ aÅ ¤ÒÊ§Ê´ÂoÁe¡i´eÁèoo¹u¾a¹¸e»¹ Ùuื 0..¶ÒãË 0 dAdx= ¨ ¡ÊÁ¡ÒÃä´e»¹ aæ x10=æÊ´§ÇÒ¾é¹·ÁÒ¡·ÕèÊ´e¡i´eÁèo ืÕèuืx10= eÁµÃ ¹¹eo§ aè

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้645 ´a§¹¹ aéA10(40 20)200 =−= ÁÒ¡·ÕèÊ´uæÊ´§ÇÒ ¾é¹·ÁÒ¡·ÕèÊ´·ÕèÅoÁä´e·Ò¡aº ืÕèu 200 µÒÃÒ§eÁµÃ ËÁÒÂeËµu ¿§¡ª¹ ·ä´ã¹¢o¹e»¹¿§¡ª¹¡íÒÅ§Êo§ aAÕèÕé aa¨§ÊÒÁÒÃ¶ãªÊµÃ ึÙB2Ax=− ã¹¡ÒÃËÒ¨´Âo´ ´ÂäÁ uoµo§¤i´´ÇÂo¹u¾a¹¸ ¡çä´ µaÇoÂÒ§ ã¹¡ÒÃÇÒ§·o¹Ò»Ã »Ò¨Ò¡¨´ ä»¨u´ éíauAB´a§ÃÙ» ¤Òãª¨ÒÂã¹¡ÒÃÇÒ§·o¢¹Ò¹¡aº¶¹¹e·Ò¡aº 100 ºÒ·µoeÁµÃ Å e·Ò¡aº æ a200 ºÒ·µoeÁµÃeÁèoÇÒ§·o¢ÒÁ¶¹¹ ื e¾èoãËeÊÂ¤Òãª¨ÒÂ¹oÂ·ÕèÊ´ ãËËÒÃ Â «è§·o¹ÒeÃièÁืÕ ua aAPึ éíeÅÂÇ¢ÒÁ¶¹¹ ÕéãË e»¹¤Òãª¨ÒÂ Å ¤oÃ Â ·Ò§´a§ÃÙ» y æ axืa a(¨ ä´Ã Â e·Ò¡aº aa aAP100x −) A B P 100 Á. ¶¹¹¡ÇÒ§ Á. 15

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 646 A P B x Á. 15 Á. 100 x -¤Òãª¨ÒÂ y100 AP 200 PB=+ 22100(100 x) 200( 15x )=− ++© ¹¹ a aé()221215x100 200() 2xdydx+=−+µo§¡ÒÃ ·Õè·íÒãËe¡i´¤Ò µèíÒÊu´ ¨§ãË xyึ 0 dydx=¨ ä´ a22x1215x+= ..¹¹¤o aèื222x15x=+ Â¡¡íÒÅ§Êo§·§Êo§¢Ò§ ä´e»¹ aaé 224x225 x=+¹¹¤o aèื2x75 = .. Ê´§ÇÒ æx8.6≈ eÁµÃ ´a§¹¹Ã Â ÁÕ¤Ò»Ã ÁÒ³ aéa aAPa91.4 eÁµÃ µaÇoÂÒ§ µo§¡ÒÃÊÃÒ§¶a§ÃÙ»·Ã§¡Ã ºo¡e¾èoe¡çº¹ÒÁa¹ aืéí»ÃiÁÒµÃ 16π Å¡ºÒÈ¡eÁµÃ ´ÂÊ¹e»Åo§ÇaÊ´u¡oÊÃÒ§ Ùoiéื(ÃÇÁ½Òº¹ Å ÅÒ§) ãË¹oÂ·Ê´ ¶a§ãº¹Õé¨ µo§ÁÕÃaÈÁÕË¹Òæ a Õèua µ´ÂÒÇe·Òã´ a

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้647 ãË¾é¹·¼Çe»¹ ¤ÇÒÁÊ§e»¹ Å ÃaÈÁÕË¹Òµ´e»¹ ืÕèiA,Ù h,æ aar¨ ä´¿§¡ª¹ ã¹ÃÙ»¢o§ ¡aº ´a§¹ a aAh r Õé2A2 rh 2( r )=+ ππ æ aÅ ã¹¢o¹eÃÒµo§¡ÒÃËÒ¤ÒµÒÊ´¢o§ ÕéèíuA (¤oËÒ¤Ò ืh, r ··ÒãËe¡i´¤Ò µÒ·ÕèÊ´) ÕèíAèíue¹o§¨Ò¡ ¨·Â¡íÒË¹´»ÃiÁÒµÃ¤§·Õè ื èo216r h =ππ¹¹¤o aèื2h16r =¨§ä´¿§¡ª¹e»¹ ึ a22A2 r() 2( r )16r=+ ππ =+ π22(r )16reÁèoe¢ÕÂ¹¿§¡ª¹ã¹ÃÙ»µaÇ »Ãµ¹µÇe´ÕÂÇ ÅÇ ¡çÊÒÁÒÃ¶ËÒื aæaæ o¹u¾a¹¸ä´ Å ¤ÒµÒÊ´ÂoÁe¡i´eÁèoo¹u¾a¹¸e»¹ æ aèíuื 0¹¹¤o aèื22(2r)0dA16rdr=−+= π¨ ä´ a22r16r = .. Ê´§ÇÒ ær2 =´a§¹¹¾é¹·Õè¹oÂ·Ê´ (Ê¹e»Åo§ÇaÊ´u¡oÊÃÒ§¹oÂ·Ê´) aéืÕèuiéืÕèue¡i´eÁèoÃaÈÁÕe·Ò¡aº eÁµÃ ื2ËÁÒÂeËµu ¶Òä´¤ÒÇi¡ÄµËÅÒÂ¤Ò ¨ µo§µÃÇ¨ÊoºÇÒ a ¤Òã´·Õè·ÒãËe¡i´¤ÒÊ§Ê´ËÃoµÒÊ´ ´a§µo§¡ÒÃ íÙuืèíu

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 648 15. ¡ÒÃo¹·e¡Ãµ (¡ÒÃËÒ»Ãi¾a¹¸) ¤o¡ÒÃ¡Ã ·Ò·ii ืa íÕèµÃ§¢ÒÁ¡aº¡Ã ºÇ¹¡ÒÃËÒo¹u¾a¹¸ a¶Ò f(x) e»¹o¹u¾a¹¸¢o§ F(x) ÅÇ æ ¨ ¡ÅÒÇÇÒ aF(x) e»¹»Ãi¾a¹¸¢o§ f(x) ¹¹¤o ¶Ò aèืF(x)f(x)ddx= ÅÇ æ ¨ ä´ÇÒ a f(x)dxF(x)=∫Ê Å¡É³ a a∫eÃÕÂ¡ÇÒe¤Ãèo§ËÁÒÂ»Ãi¾a¹¸ (ËÃo ืืe¤Ãèo§ËÁÒÂoi¹·¡ÃaÅ) Å eÃÕÂ¡ ืiæ af(x) ÇÒµÇ¶Ù¡o¹·e¡Ãµ aii16. Ê§ã´¡çµÒÁ·ËÒo¹u¾a¹¸ä´µÃ§µÒÁ¤Ò·Õèµo§¡ÒÃ ¨ièÕè aeÃÕÂ¡ÇÒ »¯iÂÒ¹u¾a¹¸ ..ÊÇ¹¤íÒÇÒ »Ãi¾a¹¸ (ËÃo ืo¹·¡ÃaÅ) ËÁÒÂ¶§ÃÙ»·Çä»¢o§»¯iÂÒ¹u¾a¹¸ iiึaèµaÇoÂÒ§ ¶Ò f(x)2x =¨ ä´ÇÒ·§ a aé21F(x)x , F(x) =22x 1, F(x)=+23x 5 , =+ËÃo ื24F(x)x 7=− µÒ§¡çe»¹»¯iÂÒ¹u¾a¹¸¢o§ f(x)e¹o§¨Ò¡ÅÇ¹·ÒãË ื èíF(x)f(x)ddx= ·§Ê¹ aéiéæµÃÙ»·Çä»¢o§»¯iÂÒ¹u¾a¹¸¢o§ aèf(x)2x = ¤o ื2xc +eÁèo e»¹¤Ò¤§·ã´æ ..eÃÕÂ¡ÇÒ »Ãi¾a¹¸äÁ¨Ò¡a´e¢µ ืc Õè í¢o§ f(x) Å e¢ÕÂ¹Ê Å¡É³e»¹æ aa a 2f(x)dxx c=+∫

เพิ่มเติม บทที่ 2 แคลคูลสเบองต้นัื้649 ** »¯iÂÒ¹u¾a¹¸ÁÕä´ËÅÒ¡ËÅÒÂ ºº µÒ§¡a¹·Õè¤Ò¤§·Õè µææ »Ãi¾a¹¸äÁ¨Ò¡a´e¢µÁÕ ººe´ÕÂÇeÊÁo íæ17. ÊµÃã¹¡ÒÃËÒ»Ãi¾a¹¸äÁ¨Ò¡a´e¢µ Ù í(1) »Ãi¾a¹¸¢o§¿§¡ª¹Â¡¡íÒÅ§ã´æ aan1nx xdxc n1 +=++∫ eÁèo ืn1≠−(2) »Ãi¾a¹¸¢o§¤Ò¤§·Õè kdxkx c=+∫(3) ´§ÊÁ»Ã Ê·¸oo¡ÁÒä´ ึaa iiìkf(x)dxk f(x)dx=∫∫ (4) ¨¡ ¨§ä´ÊÒËÃaº¡ÒÃºÇ¡ Å Åº æ æíæ a[]f(x) g(x) dxf(x)dxg(x)dx±=±∫∫∫ (5) ÊÒËÃaº¼Å¤Ù³ Å ¼ÅËÒÃ äÁÁÕÊµÃ ..¨ µo§¤Ù³ËÃoíæ aÙa ืËÒÃ¾Ë¹ÒÁãËeÃÕÂºÃoÂ¡o¹ ÅÇ¨§ËÒ»Ãi¾a¹¸ uæ ึµaÇoÂÒ§ ãËËÒ»Ãi¾a¹¸´a§µoä»¹ Õé32(x2x3) dx−+ ∫431xxx23C431=− + +

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .6 2 650 431243xx3xC=−++32(4t3t2t 1) dt−+−∫4321tttt4321C4321=−+−+432ttttC=−+−+3222x3x4() dxx++∫2(2x 3 4x ) dx−=++ ∫211xxx234C211 −=+++−=+−+24x3xC x6(x 2)(x 1) dx +− ∫=+− ∫2(6x6x 12) dx=+−+322x3x12xC

Pages:

t.kruyok004

รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Create your own flipbook

TOP SEARCH

business design fashion music health life sports home marketing children

รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Description: รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Read the Text Version

t.kruyok004

TOP SEARCH

RELATED PUBLICATIONS