สรุปเนื้อหาวิชา คณิตศาสตร์ ทุกบท ม.4-ม.6

ใช้ดถี กู ใจอยา่ ลมื อุดหนุนฉบบั ตพี มิ พเ์ ปน็ เลม่ ดว้ ยนะครบั * เน้อื หาตามหลกั สูตรใหมค่ รบทกุ บทเรียน ม.4-5-6 * โจทยแ์ บบฝกึ หดั เตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลัยครบทงั้ 14 ฉบับ (2541-2548) * พรอ้ มเฉลยคาํ ตอบ วิธคี ดิ และเรอ่ื งที่นา่ รู้อกี มากมาย.. เหมาะสาํ หรบั เตรียมสอบประจาํ ภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย Release 2.2 เซต ตรรกศาสตร/์ การใหเ้ หตผุ ล ระบบจํานวนจรงิ /ทฤษฎีจาํ นวน เรขาคณติ วเิ คราะห์ ความสัมพนั ธ์/ฟังกช์ นั กาํ หนดการเชิงเส้น ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม เมตรกิ ซ์ เวกเตอร์ จาํ นวนเชิงซอ้ น ทฤษฎกี ราฟ ลาํ ดับ/อนุกรม ลมิ ิต/ความตอ่ เนอ่ื ง อนพุ ันธ/์ การอินทิเกรต สถติ ิ ความนา่ จะเปน็ คณติ มงคลพทิ ักษ์สขุ http://math.reads.it วศ.บ. ไฟฟา้ จฬุ าฯ (เกียรตนิ ยิ ม) [email protected]

2 RMealetahseE-2B.2ook เรียบเรยี งโดย คณิต มงคลพิทกั ษส์ ขุ เผยแพรท่ างอนิ เตอร์เน็ต ท่ีเว็บไซต์ http://math.reads.it และไทยแวรด์ อตคอม Release 2.0 13 ตุลาคม 2548 Release 2.1 28 ธันวาคม 2548 Release 2.2 14 มิถนุ ายน 2549 ตีพิมพ์ครง้ั แรก (จาก Release 2.0) ธนั วาคม 2548 ในชอ่ื “คณติ ศาสตร์ O-NET & A-NET” โดยสาํ นักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑติ ) ราคาปก 159 บาท สงวนลขิ สทิ ธติ์ ามกฎหมาย หา้ มลอกเลียนไมว่ า่ ส่วนหนงึ่ สว่ นใดของหนังสอื เว้นแต่ได้รบั อนญุ าต ฉบับตพี ิมพ์มจี าํ หนา่ ยแลว้ ทศี่ นู ย์หนังสือจุฬาฯ ถนนราชดําเนิน รา้ นซเี อ็ด ร้านขายแบบเรียนท่วั ไป และ ตรอกสาเก โรงแรม 7-Eleven รา้ นธรรมบณั ฑิต วดั บูรณศริ ิ ธรรมบณั ฑติ รตั นโกสนิ ทร์ 3/1 ถนนอษั ฎางค์ ริมคลองหลอด ถนนอษั ฎางค์ ไปกระทรวงมหาดไทย สนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200 คลองหลอด ธนาณัตสิ ่งั จ่าย ป.ณ.หนา้ พระลาน ในนาม ผจู้ ดั การ แม่ธรณี แผงหนังสอื กระทรวง โทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884 สนามหลวงเดิม ยตุ ิธรรม สนามหลวง

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 3 ¤íÒªæÕé ¨§ ภายในหนังสอื เลม่ นีป้ ระกอบดว้ ย เนอื้ หาคณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชนั้ ที่ 4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวขอ้ (ซึง่ พยายามเขยี นใหก้ ระชบั ท่สี ดุ ) และ โจทย์แบบฝกึ หดั ทเี่ รียงลาํ ดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนอื้ หาและเทคนคิ การ คาํ นวณทค่ี วรทาํ ความเขา้ ใจเพม่ิ เตมิ เน้อื หาบางบทเรียนสามารถเร่ิมทําความเข้าใจไดท้ ันที แต่ บางบทเรียนกจ็ าํ เปน็ ต้องใช้พนื้ ฐานความร้จู ากบทเรยี นอนื่ ประกอบดว้ ย ดงั นั้นเพอื่ ป้องกันการ สับสนผอู้ า่ นควรศึกษาเรยี งตามหวั ข้อดังน้ี ตรรกศาสตร์ เซต ระบบจํานวนจริง ความนา่ จะเปน็ ทฤษฎีกราฟ เมตริกซ์ เวกเตอร์ พน้ื ฐาน ฟงั กช์ ัน เรขาคณิตวิเคราะห์ จาํ นวนเชงิ ซอ้ น เพม่ิ เติม กาํ หนดการเชงิ เส้น สถิติ ลําดบั +อนุกรม ตรโี กณมิติ ลิมติ +ความต่อเนื่อง เอกซโ์ พ.+ลอการทิ ึม อนุพันธ์+อินทเิ กรต นอกจากนใี้ นตอนทา้ ยยังมี ขอ้ สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั วิชาคณติ ศาสตร์ ครบท้งั 14 ฉบบั (ต.ค.41 ถงึ ม.ี ค.48) และวชิ าพื้นฐานทางวศิ วกรรม (2532 ถงึ 2548, เฉพาะข้อที่เป็น คณิตศาสตร)์ เพื่อใช้สําหรบั ฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวทิ ยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วย ในท้ายบทเรียนและทา้ ยขอ้ สอบมี เฉลยคําตอบและวธิ ีคดิ กาํ กับไว้ทั้งหมดแล้ว โดย เฉลยวิธีคดิ ในหนังสือเล่มนเี้ ปน็ เพยี งการสรปุ ความคิดรวบยอดของขอ้ นนั้ ๆ ไม่ไดแ้ สดงวธิ ที าํ อยา่ งละเอียดทกุ ข้ันตอน ทง้ั น้เี ปน็ ความต้ังใจทีจ่ ะเนน้ ใหผ้ อู้ า่ นได้ลองคดิ และเกดิ ความเขา้ ใจไป พรอ้ มๆ กัน เพือ่ ใหท้ าํ ข้อสอบไดร้ วดเรว็ ข้นึ เชื่อว่าหากผู้อา่ นได้ใหเ้ วลาทาํ ความเข้าใจเนอื้ หา อยา่ งถถ่ี ว้ น และฝกึ ทําโจทยแ์ บบฝกึ หดั ไปทลี ะข้นั ๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ กจ็ ะตดิ ตาม บทเรียนจนจบไดอ้ ยา่ งลลุ ว่ ง สงิ่ ที่ต้องการแนะนาํ ในทน่ี ้คี อื หากมขี ้อสงสยั ใหร้ บี ถามจากผูร้ ู้ ไม่ ควรปลอ่ ยให้ตดิ ค้างอยู่ :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4 แนวโจทย์ข้อสอบเขา้ ฯ ในปจั จุบัน โจทยข์ ้อสอบเขา้ มหาวิทยาลยั ปัจจุบนั น้เี ปลย่ี นแนวไป ทาํ ใหห้ ลายคนบน่ ว่ายากขน้ึ มาก ส่วนตวั ผเู้ ขียนว่าเป็นข้อสอบทด่ี ีเพราะเริ่มเนน้ ความเข้าใจในเน้ือหา ในนยิ ามหลกั ๆ ของบทเรียน ลกั ษณะขอ้ สอบแบบน้ีอันทจี่ รงิ ไม่ถือวา่ ยาก แต่ค่อนไปในทางลึกซงึ้ มากกว่า คนทีจ่ ะทําขอ้ สอบแบบนี้ ไดถ้ กู จะตอ้ งรู้ลกึ และแมน่ จรงิ สูตรลดั กลายเปน็ ส่งิ ไรค้ ่า และการขยันเรียนทโ่ี รงเรยี นโดยตลอด พรอ้ มกบั ทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดว้ ยตนเอง จะไดผ้ ลดมี ากกว่าการกวดวชิ า เรียนคณติ ศาสตรย์ ังไงใหไ้ ดผ้ ลดี (1) ปัญหาแรกของคนทีบ่ อกวา่ ตัวเองเรยี นไม่รู้เรื่องเลย ทาํ โจทยไ์ มเ่ ป็นเลย อยู่ท่ีเรียนผดิ วธิ ี ครบั ถา้ ไม่เขา้ ใจบทเรยี นให้ลองถามตวั เองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้ (ก) ไมต่ ั้งใจเรียน กรณีน้ไี ม่มีวธิ แี กว้ ธิ ีใดดไี ปกวา่ การบังคับตวั เองใหต้ ง้ั ใจเรียน :] (ข) ถา้ ต้ังใจแลว้ แตไ่ ม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไมด่ ี แบบนี้คงตอ้ งย้ายไปเรยี นกบั คนที่ สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนกุ หรือเขา้ ใจกับมีสตู รลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครบั !) (2) ทนี ีพ้ อเขา้ ใจบทเรยี นแล้ว การทีจ่ ะทาํ ไดด้ ไี ม่ดี อยู่ที่การฝกึ ฝนอกี อย่างหนึง่ ด้วย (ถา้ นัง่ ฟงั อยา่ งเดยี วแต่ไม่ไดล้ งมือฝึกดว้ ยตัวเองเลย กค็ งคล้ายกบั เรียนวา่ ยนาํ้ ทางทวี นี ัน่ แหละครบั ) ยิ่งทาํ โจทยเ์ ยอะและแปลก จะย่ิงได้เปรียบ เพราะความแมน่ ยาํ ลกึ ซึ้งในวิชานนั้ สอนกนั ไมไ่ ด้ อกี สิง่ หนึง่ ทีค่ วรปรับปรงุ คอื แทนท่จี ะจาํ วธิ แี ก้โจทยเ์ ปน็ รูปแบบตายตัว อยากให้ “มอง คณิตศาสตร์เป็นเครือ่ งมือ” คอื ฝกึ มองให้กว้างว่าแตล่ ะเรอ่ื งทเี่ รารู้นนั้ เอาไปเปน็ เคร่อื งมือช่วย แก้ปญั หาจดุ ไหนของเร่ืองไหนไดบ้ า้ ง ต้องบอกไดว้ า่ ทาํ ไมโจทยข์ อ้ นีถ้ ึงควรทาํ ด้วยวิธนี ้ี หรอื รจู้ ักมองว่า เนอ้ื หาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บา้ ง (ซึ่งในหนงั สือเล่มนี้ได้แทรกคาํ อธิบายถงึ ความเก่ียวโยงไว้ให้บ้าง แล้ว) การฝึกแบบน้ีน่าจะทาํ ขอ้ สอบได้ดขี นึ้ ครับ.. นับตั้งแต่เร่มิ ลงมอื พิมพ์จนวนั นี้ (ตุลาคม 2548) ใชเ้ วลาถงึ 2 ปี และหนังสือเล่มนค้ี งจะยงั ไม่ สาํ เร็จดว้ ยดีถา้ ขาดบคุ คลเหลา่ น้ี หากหนังสอื เล่มน้มี ีส่วนดปี ระการใด กเ็ ป็นเพราะบคุ คลทงั้ หมดนค้ี รับ.. - อาจารยท์ ุกท่านโดยเฉพาะอาจารยค์ ณติ ศาสตร์ ทไ่ี ด้ให้วิชาความรกู้ ับผม ขอขอบพระคณุ อ.ชัยศกั ด์ิ และ อ.จงดี (สาธิตปทมุ วนั ) เป็นพิเศษครับ ทงั้ สองท่านเป็นตน้ แบบที่ดใี นการสอน - ป๊า ม้า ยังคงเขา้ ใจและยอมเร่ือยมา บอยกับน้องยุ ชว่ ยพมิ พ์เฉลยอย่างขยันขนั แขง็ - ผูเ้ ขยี นหนังสือเรียนและคูม่ อื ต่างๆ ผูอ้ อกขอ้ สอบเข้าฯ รวมทัง้ เวบ็ ไซต์ของ สกอ. - อ.สมพล (กวงเจก็ ) และ อ.พนม สนพ. Science Center ทใ่ี หโ้ อกาสนาํ เสนอผลงาน - ชง สาํ หรบั ความคิดริเร่ิมพิมพ์ชีท และกลา้ สําหรับความคิดเร่ืองขอ้ สอบพ้ืนฐานวิศวะ - น้องภัค นอ้ งหน่ึง น้องโอ๊ต นอ้ งเคน สาํ หรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ท้งั หลาย ท่ีเคยเปน็ ศษิ ย์กันมา ต้ังแตใ่ ช้ชีทลายมือเขยี นมาจนกระท่งั พมิ พเ์ สรจ็ (ขึ้นหลักรอ้ ยแลว้ แตย่ ังจําได้ ทุกคนครับ) โดยเฉพาะแอน, เนย,์ เภา, ตูน เปน็ นอ้ งกลุ่มแรกทไี่ ดใ้ ชห้ นังสือเล่มน้ี ให้คาํ แนะนาํ และ ชว่ ยตรวจแกข้ อ้ สอบด้วย - ความรา้ ยกาจของ “เจช๊ ดุ ดาํ ” แห่งฟู้ดเซ็นเตอรช์ ัน้ 3 ท่ที าํ ให้เกิดความคิดว่า คนเราควร ทาํ งานในหนา้ ทข่ี องตวั เองใหด้ ที ี่สดุ แล้วผมก็เดินกลบั บา้ นมาเร่ิมพิมพ์หนงั สือเม่ือสองปีที่แลว้ ! - Thaiware.com, se-ed.net, f0nt.com ... สามเวบ็ ไทยใจดี มีขอ้ สงสัย คําแนะนํา หรือพบขอ้ บกพร่อง กรุณาตดิ ต่อผูเ้ ขยี นที่ [email protected] และสอบถามปญั หาต่างๆ ไดท้ ี่เวบ็ บอรด์ ใน http://math.reads.it ยินดีตอบทุกปญั หาครบั :] ขอบคณุ ท่ีให้ความสนใจครับ คณติ มงคลพิทกั ษ์สุข Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 5 ÊÒÃa¡ÒÃeÃÂÕ ¹Ãٌ (e¹éo× ËÒ·Õè㪌Êoº O-NET / A-NET) ต้ังแตป่ ีการศึกษา 2549 เปน็ ต้นไป การสอบคดั เลอื กเขา้ มหาวิทยาลยั จะเปลี่ยนระบบ เปน็ แอดมสิ ชน่ั ส์ (Central University Admissions System) ซึ่งแบง่ คะแนนสอบออกเปน็ 4 ส่วน 1. GPAX รวมทกุ วชิ าในระดับ ม.ปลาย [10%] 2. GPA เฉพาะวิชาหลกั 4-5 วชิ า ตา่ งๆ กันไปแล้วแต่คณะทเ่ี ลือก [20%] 3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมท้ังประเทศ [35%-40%] เป็นขอ้ สอบบงั คับ นกั เรียนทุกสาขาจะตอ้ งสอบ มี 5 วชิ าไดแ้ ก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสงั คมศกึ ษา (ระยะเวลาในการสอบ วชิ าละ 2 ช่วั โมง) ... ซึ่ง นักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ไดเ้ พยี งปเี ดียว หลังจบ ม.6 4. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทงั้ ประเทศ [30%-35%] เปน็ ขอ้ สอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวชิ าตา่ งกนั ไปตามสาขาทส่ี อบ (ไมเ่ กิน 3 วิชา และอาจมี วชิ าความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วศิ วะฯ สถาปัตย์ ครู ศลิ ปะ ดนตรี สุขศกึ ษา) ขอ้ สอบจะ ครอบคลุมเนื้อหากวา้ งและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ช่วั โมง ยกเวน้ วิทยาศาสตร์ 3 ชวั่ โมง) โดยคณติ ศาสตรจ์ ะใช้สอบสําหรับนักเรียนท่ีเลอื กสาขาคํานวณเท่านัน้ ... นกั เรียนแตล่ ะคนสอบ A-NET ได้ 3 ปี หมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มกี ารจดั สอบปลี ะ 1 ครง้ั ปลายเดอื นกมุ ภาพันธ์ (2) ทุกวิชาจะมขี อ้ สอบส่วนอัตนยั เป็นแบบเตมิ คาํ ตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย (3) ช่อื วิชาต่างจากระบบเดมิ คอื คณติ ศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกวา่ คณติ ศาสตร์ 2 (A-NET) ค่านา้ํ หนักของวชิ าคณติ ศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา - สาขาบริหารธุรกจิ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20% - สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10% - สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี ส่ิงแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10% - สาขาวทิ ยาศาสตรส์ ขุ ภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10% - สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลอื กวชิ าอื่นแทนได)้ | O-NET 20% - สาขาการจัดการ การทอ่ งเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14% - สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8% - สาขาครศุ าสตร์ ศกึ ษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8% - สาขาวทิ ยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7% - สาขาศลิ ปกรรม วจิ ิตรศลิ ป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใชค้ ณิตศาสตร์ | O-NET 7% - สาขามนษุ ยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวชิ าอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไมแ่ นน่ อน รายละเอียดเพิม่ เตมิ อยใู่ นเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแหง่ ชาติ (NIETS) http://www.ntthailand.com Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6 หัวข้อคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน (สาํ หรบั ขอ้ สอบ O-NET) บทท่ี 1 เซต (ท้ังหมด) บทท่ี 2 ระบบจํานวนจริง (ทง้ั หมดยกเวน้ หวั ขอ้ 2.2 และ 2.5) บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5) บทที่ 5 ความสมั พนั ธ์และฟงั ก์ชนั (ท้ังหมดยกเว้นหวั ขอ้ 5.2 และ 5.5) บทท่ี 7 ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ (เฉพาะเกรนิ่ นาํ และหวั ข้อ 7.9) บทท่ี 8 ฟงั กช์ นั เอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวขอ้ 8.1) บทท่ี 13 ลาํ ดับและอนกุ รม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ท่ีไมเ่ กี่ยวกบั อนันต)์ บทท่ี 16 ความน่าจะเปน็ (เฉพาะหัวขอ้ 16.1 และ 16.6) บทที่ 17 สถิติ (ทั้งหมดยกเวน้ หัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัตติ ่างๆ) หวั ข้อคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ (สําหรบั ขอ้ สอบ A-NET) คอื ทกุ หัวขอ้ ในหนงั สอื เล่มนี้ รวมท้ังหัวขอ้ เพิม่ เติมท่ไี ม่อย่ใู นหนังสอื เรียน ไดแ้ ก่ บทท่ี 2 การหารสงั เคราะห์ บทที่ 13 อนุกรมแบบอนื่ ๆ ทีไ่ มใ่ ชเ่ ลขคณติ และเรขาคณติ บทที่ 16 การนับในกรณอี ่นื ๆ (หวั ขอ้ 16.4) บทท่ี 17 สูตรลดทอนในการหาคา่ เฉล่ียเลขคณติ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 7 ÊÒú­a เรอื่ ง หนา้ บทที่ 1 เซต 11 1.1 สับเซตและเพาเวอรเ์ ซต 12 1.2 แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 15 1.3 โจทยป์ ัญหาเกยี่ วกับเซต 21 บทท่ี 2 ระบบจํานวนจริง 31 2.1 สมบัติของจาํ นวนจรงิ 32 2.2 ทฤษฎบี ทเศษเหลือ และตัวประกอบ 36 2.3 อสมการ 39 2.4 ค่าสมั บูรณ์ 44 2.5 ทฤษฎจี ํานวนเบ้อื งต้น 48 เรอ่ื งแถม ถา้ ไม่มีเครอื่ งคํานวณ จะหาค่ารากท่สี องได้อยา่ งไร 58 บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 59 3.1 ตวั เชอ่ื มประพจน์ และตารางค่าความจรงิ 60 3.2 สัจนริ นั ดร์ 63 3.3 การอา้ งเหตผุ ล 65 3.4 ประโยคเปิดและตวั บ่งปริมาณ 67 3.5 การให้เหตผุ ลแบบอปุ นยั และนริ นัย 69 เร่อื งแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพน้ื ฐานของดิจติ ัล 82 บทท่ี 4 เรขาคณิตวเิ คราะห์ 83 4.1 เบื้องต้น : จุด 84 4.2 เบอ้ื งต้น : เส้นตรง 86 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขยี นกราฟ 92 4.4 ภาคตดั กรวย : วงกลม 94 4.5 ภาคตดั กรวย : พาราโบลา 96 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 99 4.7 ภาคตดั กรวย : ไฮเพอรโ์ บลา 102 บทที่ 5 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังก์ชนั 119 5.1 ลักษณะของความสมั พันธ์ 120 5.2 โดเมน เรนจ์ และตวั ผกผันของความสัมพนั ธ์ 121 5.3 กราฟของความสมั พนั ธ์ 124 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 8 เรอื่ ง หน้า 5.4 ลักษณะของฟังกช์ นั 127 5.5 ฟังกช์ นั ประกอบ และฟังกช์ ันผกผัน 131 เร่อื งแถม หลกั ในการหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ัน fog 146 บทท่ี 6 กาํ หนดการเชิงเสน้ 147 บทท่ี 7 ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ 157 7.1 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิในวงกลมหน่ึงหน่วย 158 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 160 7.3 สมการตรโี กณมติ ิ 162 7.4 กราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ 165 7.5 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 166 7.6 ฟังกช์ ันผกผนั ของตรโี กณมิติ 169 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 171 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 172 7.9 การประยกุ ต์หาระยะทางและความสงู 173 บทท่ี 8 ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ลและลอการทิ มึ 187 8.1 ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 187 8.2 การแก้สมการท่ีเปน็ เอกซโ์ พเนนเชยี ล 191 8.3 ฟังก์ชนั ลอการทิ ึม และกฎของลอการิทึม 192 8.4 การแก้สมการท่ีเปน็ ลอการทิ ึม 195 เรอื่ งแถม จําเปน็ ตอ้ งตรวจคาํ ตอบของสมการ (หรอื อสมการ) เมือ่ ใดบ้าง 204 บทที่ 9 เมตริกซ์ 205 9.1 การบวก ลบ และคณู เมตริกซ์ 206 9.2 ดีเทอร์มนิ ันต์ 208 9.3 อินเวอร์สการคณู 211 9.4 การดําเนนิ การตามแถว 215 9.5 การใช้เมตรกิ ซแ์ ก้ระบบสมการเชงิ เสน้ 216 บทที่ 10 เวกเตอร์ 227 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 228 10.2 การคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 230 10.3 เวกเตอร์กบั เรขาคณิต 231 10.4 เวกเตอรใ์ นพกิ ดั ฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ย 233 10.5 ผลคณู เชิงสเกลาร์ 235 10.6 เวกเตอร์ในพกิ ดั ฉากสามมิติ 237 10.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 240 เรือ่ งแถม สิ่งท่ีไมต่ อ้ งรู้กไ็ ด้ : ลาํ ดับการคิดค้นเนื้อหาคณติ ศาสตร์ 250 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9 เรือ่ ง หน้า บทที่ 11 จาํ นวนเชงิ ซ้อน 251 11.1 การคํานวณเบอื้ งต้น 252 11.2 สังยุค และค่าสมั บูรณ์ 254 11.3 รูปเชงิ ขว้ั 256 11.4 สมการพหุนาม 259 เรอ่ื งแถม ใชจ้ าํ นวนเชิงซอ้ นชว่ ยคํานวณเกีย่ วกบั วงจรไฟฟา้ กระแสสลับ 268 บทที่ 12 ทฤษฎกี ราฟ 269 12.1 ส่วนประกอบของกราฟ 270 12.2 กราฟออยเลอร์ 272 12.3 วถิ ีที่สน้ั ที่สุด และตน้ ไมแ้ ผท่ ัว่ ทน่ี อ้ ยทส่ี ดุ 274 บทท่ี 13 ลาํ ดบั และอนุกรม 279 13.1 ลาํ ดบั เลขคณติ และเรขาคณติ 280 13.2 ลมิ ติ ของลําดบั อนันต์ 282 13.3 อนกุ รมและซิกม่า 284 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณติ และอ่นื ๆ 285 บทท่ี 14 ลมิ ิตและความตอ่ เนื่อง 295 14.1 ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมติ 296 14.2 ลิมติ ในรูปแบบยงั ไมก่ าํ หนด 298 14.3 ความต่อเนอ่ื งของฟงั ก์ชนั 300 เร่ืองแถม การคาํ นวณลมิ ิตในรูปแบบยังไมก่ ําหนด ด้วยกฎของโลปตี าล 306 บทที่ 15 อนพุ นั ธ์และการอนิ ทเิ กรต 307 15.1 อัตราการเปลย่ี นแปลง 307 15.2 สูตรในการหาอนพุ นั ธ์ 309 15.3 ฟงั ก์ชนั เพ่ิม ฟังกช์ นั ลด และคา่ สุดขีด 312 15.4 สตู รในการอินทเิ กรต 317 15.5 อนิ ทิกรลั จํากดั เขต และพ้นื ท่ีใต้โคง้ 319 เรื่องแถม เทคนคิ การอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332 บทท่ี 16 ความน่าจะเป็น 333 16.1 หลักมลู ฐานเกย่ี วกบั การนบั 333 16.2 วธิ เี รียงสับเปล่ยี น 335 16.3 วิธจี ัดหมู่ และกฎการแบง่ กลมุ่ 337 16.4 การนับในกรณีอ่ืนๆ 339 16.5 ทฤษฎีบททวินาม 341 16.6 ความนา่ จะเป็น 345 เรอ่ื งแถม เรือ่ งของการนบั จํานวนความสมั พนั ธ์ จํานวนฟงั ก์ชัน 358 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 10 เรือ่ ง หนา้ บทท่ี 17 สถิติ 359 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 360 17.2 คา่ กลางของขอ้ มลู 363 17.3 ตาํ แหนง่ สัมพัทธข์ องขอ้ มูล 374 17.4 คา่ การกระจายของข้อมลู 378 17.5 คา่ มาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 383 17.6 ความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังกช์ นั ระหวา่ งข้อมลู 388 ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403 ฉบบั ท่ี c | ตุลาคม 2541 408 ฉบบั ท่ี d | มนี าคม 2542 417 ฉบบั ที่ e | ตุลาคม 2542 426 ฉบับท่ี f | มนี าคม 2543 435 ฉบบั ที่ g | ตลุ าคม 2543 444 ฉบบั ที่ h | มีนาคม 2544 453 ฉบับที่ i | ตลุ าคม 2544 462 ฉบับที่ j | มีนาคม 2545 471 ฉบับที่ k | ตุลาคม 2545 481 ฉบับที่ l | มีนาคม 2546 492 ฉบบั ที่ n | ตลุ าคม 2546 502 ฉบบั ที่ o | มีนาคม 2547 512 ฉบับท่ี p | ตุลาคม 2547 523 ฉบับท่ี q | มนี าคม 2548 532 สถติ คิ ะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลยั วชิ าคณติ ศาสตร์ 1 541 ข้อสอบเข้ามหาวทิ ยาลยั วิชาพื้นฐานทางวศิ วกรรม (17 ป)ี 542 573 (เฉพาะขอ้ ทเ่ี ปน็ คณติ ศาสตร)์ 588 ชุดท่ี 1 | รวมปี 2532 ถงึ ปี 2541 606 ชดุ ท่ี 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมนี าคม 2548 616 โจทยท์ ดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลยั 657 ชดุ ที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ขอ้ ) ชดุ ที่ 2 (35 ขอ้ ) ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเขม้ ข้น ดรรชนี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 11 เซต { s,e,t } º··èÕ 1 e«µ “กลุ่มของส่ิงต่างๆ” ในวชิ าคณิตศาสตร์จะ เรียกว่า เซต (Set) เชน่ เซตของช่อื วันท้ังเจด็ , เซต ของจาํ นวนเตม็ ท่ยี กกาํ ลงั สองแล้วมคี ่าน้อยกว่า 7, เซต ของจํานวนเฉพาะบวกท่ีหาร 360 ลงตวั , ฯลฯ สิ่งที่อยู่ ภายในแต่ละเซต เรียกวา่ สมาชกิ (Element หรือ Member) นิยมตงั้ ช่ือเซตด้วยอกั ษรตวั ใหญ่ เชน่ A, B, C และเขยี นสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บ ปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของช่ือวันท้ังเจ็ด, B แทนเซตของจาํ นวนเตม็ ท่ยี กกําลงั สอง แล้วมคี ่าน้อยกวา่ 7, C แทนเซตของจาํ นวนเฉพาะบวกท่ีหาร 360 ลงตวั , D แทนเซตของจํานวน เฉพาะบวกท่ีนอ้ ยกว่า 7, และ E แทนเซตของจาํ นวนเตม็ ทอี่ ยู่ระหวา่ ง 3 ถงึ 33 จะไดว้ า่ A = { อาทิตย,์ จนั ทร์, อังคาร, พธุ , พฤหัสบดี, ศกุ ร์, เสาร์} การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะค่นั ระหว่างสมาชกิ แตล่ ะตวั ดว้ ยจุลภาค (comma) B = {−2, −1, 0, 1, 2} หรือ B = {0, 1, −1, 2, −2} การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับทีส่ มาชกิ ในเซตได้โดยความหมายไม่เปล่ยี น C = {2, 3, 5} D = {2, 3, 5} จะกลา่ วได้ว่า C = D สมาชิกตัวทีซ่ ้าํ กนั นับเปน็ ตัวเดียวกนั และไมต่ ้องเขยี นซ้ํา ( 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 ) E = {4, 5, 6, 7, ..., 32} หากมสี มาชิกเป็นจาํ นวนมาก อาจใชเ้ คร่ืองหมายจดุ “...” เพ่อื ละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานทีเ่ ข้าใจ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 12 เซต เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจาํ กัด (Finite S ¨´u ·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S Set) และสญั ลักษณท์ ใี่ ช้แทน “จาํ นวนสมาชิกของ A” คือ n(A) e«µµo‹ 仹ÁéÕ ¨Õ Òí ¹Ç¹ÊÁÒª¡i e·Ò‹ ã´ เช่นในตวั อย่างข้างต้น n(A) = 7 , n(B) = 5 , n(C) = 3 , {∅, 0, 1, {2, 3},(4, 5)} n(E) = 29 นอกจากนัน้ เซตจํากดั ที่ไม่มีสมาชกิ อยู่เลย จะเรยี กวา่ ¤Òí µoº¤×o 5 µaÇ ä´æŒ ¡‹ e«µÇ‹Ò§, eÅ¢ 0, เซตวา่ ง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรอื ∅ eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ù‹oa¹´aº (4,5) ¹¹èa ¤×oe«µ¹aºe»¹š 1 ¤o‹Ù a¹´aº¹ºa e»š¹ 1 นั่นคอื n (∅) = 0 เซตทจี่ ํานวนสมาชกิ มากจนหาคา่ ไมไ่ ด้ เรยี กว่า เซต {(1, 2),(2, 1), {1, 2}, {2, 1}} อนันต์ (Infinite Set) เชน่ F แทนเซตของจาํ นวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกว่า 2, ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´Œæ¡‹ ¤Ù‹oa¹´aº (1,2), ¤Ù‹ G แทนเซตของจํานวนใดๆ ทีอ่ ยูร่ ะหว่าง 0 กบั 1 oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2} (¤‹oÙ a¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oÇҋ µÒ‹ §¡a¹ 测e«µ F = ,{1, 0, −1, −2, −3, ...} n (F) หาค่าไมไ่ ด้ 1-2 ¡ºa e«µ 2-1 ¶×oNjÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ‹ µŒo§¹aº«Òíé ¹a¤Ãaº) G เขยี นแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขยี นแบบบอก เง่อื นไขไดใ้ นรูป { สมาชิก | เงอื่ นไข} คือ e«µ¢o§ª×oè ¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹éÕ e»š¹e«µ¨Òí ¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤Òí µoº¤×o G = { x | 0 < x < 1} e«µ¨Òí ¡a´¤Ãaº ¶§Ö æÁ¨Œ íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇҋ ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 浡‹ çäÁÁ‹ Ò¡¶§Ö o¹a¹µ¹ a.. อ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยท่ี 0 < x < 1 (เง่ือนไข) สญั ลักษณท์ ี่ใช้แทนคาํ ว่า “เปน็ สมาชิกของ” คอื ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C , 0.5 ∈ G สัญลกั ษณท์ ีใ่ ช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คอื ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C , 0 ∉ G ขอบเขตของสิ่งทเ่ี ราสนใจ เรยี กวา่ เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต U นน่ั คือ สมาชกิ ของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทง้ั หมด และจะไม่สนใจสิง่ ที่อยู่ภายนอก U เช่น ถา้ U = {−2, −1, 0, 0.5, 7} และ H = { x | x > 0 } จะได้ว่า H = {0, 0.5, 7} แตถ่ า้ เปล่ยี นเป็น U = เซตของจาํ นวนเตม็ จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...} การเขยี นเซตแบบบอกเง่อื นไขควรระบเุ อกภพสมั พัทธก์ ํากับด้วย แตถ่ า้ ไม่ได้ระบไุ ว้ โดยท่วั ไปใหถ้ ือว่า U เปน็ เซตของจํานวนจริงใดๆ ( R ) เช่น H = { x | x > 0 } มีความหมายเดยี วกบั H = { x ∈ R | x > 0 } 1.1 สบั เซต และเพาเวอร์เซต สับเซต (Subset) คอื เซตยอ่ ย จะกลา่ ววา่ B เปน็ สบั เซตของ A ไดก้ ต็ อ่ เมอื่ สมาชกิ ทกุ ตวั ของเซต B เปน็ สมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชกิ บางตวั ของ เซต B ไม่เป็นสมาชกิ ของเซต A) สัญลักษณ์ท่ีใชแ้ ทนประโยค “B เปน็ สบั เซตของ A” คอื B ⊂ A และ สัญลักษณ์ทใี่ ชแ้ ทนประโยค “B ไม่เปน็ สับเซตของ A” คอื B ⊄ A ตัวอย่างเช่น A = {m, p, r, w} จะมีเซต B ทีท่ าํ ให้ B ⊂ A ไดถ้ งึ 16 แบบ ดังน้ี ∅ S ¢ŒoÊa§e¡µ! S {m} {p} {r} {w} »Ãao¤ {a, b} ⊂ A ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇҋ a ∈ A æÅa b ∈ A {m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} {m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} {m, p, r, w} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13 เซต ข้อควรทราบ 1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ∅ ⊂ A 2. เซตทกุ เซตเป็นสบั เซตของตัวเอง A ⊂ A 3. เซตท่ีมีสมาชกิ n ตวั จะมสี ับเซตทัง้ สิ้น 2n แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างตน้ 24 = 16 ) 4. บางตําราใชส้ ัญลกั ษณ์ ⊂ แทนการเปน็ สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมเี พยี ง 2n − 1 แบบ เท่าน้นั (คือนบั เฉพาะเซตที่เล็กกวา่ เทา่ นน้ั ไม่นับตัวมนั เอง) และใชส้ ัญลกั ษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับ เซตใดๆ (นน่ั คือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A ) ... แต่ในเลม่ น้ีจะรวบใช้เครอ่ื งหมาย ⊂ แทนการเป็นสบั เซตใดๆ ทุกแบบ รวมถงึ ตวั มนั เองดว้ ย เพาเวอรเ์ ซต (Power Set) คอื เซตทบ่ี รรจุด้วยสับเซตทั้งหมดทีเ่ ป็นไปได้ เพาเวอร์เซตของ A จะใชส้ ญั ลักษณว์ ่า P(A) S ¢oŒ Êa§e¡µ! S ดังนั้น ถ้า A มีสมาชกิ n ตวั แล้ว P(A) ย่อมมสี มาชิก 2n ตวั เชน่ ในตัวอยา่ ง A = {m, p, r, w} »Ãao¤ {a, b} ∈ P(A) จะได้ P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò {a, b} ⊂ A ¹¹èa ¤×o a ∈ A æÅa b ∈ A เพมิ่ เติม จากเนอ้ื หาเร่ืองการเรยี งสบั เปลี่ยนและจัดหมู่ (กฎการนับน้ีจะไดศ้ ึกษาอยา่ งละเอยี ดในบทท่ี 16 หัวข้อ 16.3) มขี อง n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ช้นิ ได้ไม่ซํา้ กนั ทง้ั ส้ิน ⎛n⎞ = n! ชดุ ⎜⎝ r ⎠⎟ (n−r)! ⋅ r ! โดยที่ x ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ x เชน่ ถา้ เซตหนงึ่ มสี มาชิก 7 ตัว จะมสี ับเซตทหี่ ยิบสมาชิกมาเพยี ง 3 ตัว อยู่ ⎛7⎞ = 7! = 1⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅5⋅6 ⋅7 = 35 แบบ ⎝⎜3 ⎠⎟ 4!⋅ 3! 1⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅1⋅2 ⋅3 • ตวั อยา ง ใหเ ขียนสบั เซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเ ซตของ S ¨u´·è¼Õ i´º‹oÂ! S ก. A = {a} ¹oŒ §æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËÇҋ § ∅ ¡aº {∅} ตอบ มีสบั เซต 21= 2 แบบ ไดแ ก ∅ และ {a} Njҵҋ §¡a¹o‹ҧäà ... ดงั นนั้ P (A) = {∅, {a}} ∅ (e«µÇҋ §) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Åo‹ §e»Å‹Òæ äÁ‹ ข. B = {a, b} ÁÕoaäÃoÂã‹Ù ¹¹é¹a eÅ (¨Òí ¹Ç¹ÊÁÒª¡i e·‹Ò¡ºa 0) ตอบ มีสับเซต 22 = 4 แบบ ไดแ ก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ¨ae¢Õ¹ʭa Åa¡É³e»š¹ { } ¡äç ´Œ ดังนน้ั P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} 测¶ŒÒ¶ÒÁÇҋ ¡Å‹o§ãºË¹§èÖ «§Öè Á¡Õ Åo‹ §e»Å‹Òo¡Õ ค. C = {2, 3, 5} ãºo¢‹Ù ŒÒ§ã¹ ¹aºe»¹š ¡Åo‹ §Ç‹Ò§e»Å‹ÒËÃ×oäÁ‹ ตอบ มีสับเซต 23 = 8 แบบ ไดแ ก ∅ , {2} , {3} , {5} , ,{2, 3} ¤Òí µoº¡¤ç ×oäÁe‹ »Å‹ÒæÅnj 㪋äËÁ¤Ãaº ,{2, 5} {3, 5} และ {2, 3, 5} ดงั นั้น P (C) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} ¡eç ËÁ×o¹¡¹a ¡aº “e«µ¢o§e«µÇҋ §” {∅} «§Öè äÁ‹ä´Œe»š¹e«µÇ‹Ò§o¡Õ µo‹ ä»æÅnj ... ง. D = ∅ ËÃ×o¶ÒŒ µoºÊ¹éa æ ¡ç¤×o n(∅) = 0 ตอบ มีสบั เซต 20 = 1 แบบ ไดแก ∅ ดงั นัน้ P (D) = {∅} 测 n({∅}) = 1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 14 เซต • ตัวอยา ง กําหนด E = {∅, {0}, {∅}} ใหหา P(E) ตอบ {∅, {∅}, {{0}}, {{∅}}, {∅, {0}}, {∅, {∅}}, {{0}, {∅}}, {∅, {0}, {∅}}} • ตัวอยา ง กําหนด A, B เปน เซตซ่ึง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหห า ก. จาํ นวนแบบของเซต X ซ่งึ X ∈ P (A) ตอบ คําวา X ∈ P (A) กค็ ือ X ⊂ A ดงั น้นั มีเซต X ทีเ่ ปน ไปไดทั้งหมด 24 = 16 แบบ หากศึกษาเรือ่ งวิธีจดั หมูแ ลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้ ⎛4⎞+⎛4⎞ + ⎛4⎞ + ⎛4⎞ + ⎛4⎞ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ⎜⎝1 ⎠⎟ ⎜⎝2 ⎠⎟ ⎜⎝3 ⎟⎠ ⎝⎜ 4 ⎠⎟ แบบ⎝⎜0 ⎠⎟ ข. จํานวนแบบของเซต X ซ่งึ X ∈ P (A) และ n(X) < 2 ตอบ คําวา X ∈ P (A) กค็ ือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดงั ขอ ก.) แตข อนีต้ องการ n(X) < 2 เทา นนั้ หากศึกษาเรือ่ งวธิ ีจดั หมูแ ลว จึงจะทราบวิธีคาํ นวณ ดงั นี้ แบบ⎛ 4 ⎞+ ⎛4⎞ + ⎛4⎞ = 1 + 4 + 6 = 11 ⎜⎝1 ⎟⎠ ⎜⎝2 ⎟⎠ ⎜⎝0 ⎟⎠ (แตถ า ยังไมไ ดศกึ ษา ก็คงตองเขียนนบั เอาโดยตรง) ค. จํานวนแบบของเซต Y ซง่ึ A ⊂ Y และ Y ⊂ B ตอบ ตอ งการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยใู น Y ครบทกุ ตวั ... และ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กีต่ ัวกไ็ ด หรือไมอยูเลยกไ็ ด (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกบั เงื่อนไข Y ⊂ B แลว ) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กีต่ ัวก็ได หรือไมอยูเลยกไ็ ด เปรียบเสมือนการหาสับเซต ทุกแบบของ {2, 4, 6} นนั่ เอง จึงตอบวา 23 = 8 แบบ แบบฝึกหัด 1.1 (1) กาํ หนด A, B เปน็ เซตที่มีลกั ษณะ A ⊂ B และ A ≠ B ถา้ x ∈ A และ y ∈ B แล้ว ข้อความต่อไปนถ้ี ูกหรือผดิ (1.1) {x} ⊂ B (1.3) {A} ⊂ {B} (1.2) {y} ⊄ A (1.4) {A} ≠ {B} (2) ให้ A = {{∅}, a, b, {a}, {a, b}} ขอ้ ความตอ่ ไปนี้ถกู หรือผิด (2.1) {∅} ∈ A (2.3) {{a}, b} ⊂ A (2.2) {∅} ⊂ A (2.4) {a, b} ∈ A และ {a, b} ⊄ A (3) ขอ้ ความต่อไปน้ถี กู ตอ้ งหรือไม่ (3.1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แลว้ A ∈ C (3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊄ C Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 15 เซต (4) ให้ A เปน็ เซตใดๆ ขอ้ ความต่อไปนีถ้ กู หรือผดิ (4.3) { x | {x} ⊂ A } = {A} (4.1) { x | x = A } = {A} (4.4) { x | {x} ⊂ ∅ } = ∅ (4.2) { x | x ∈ A } = A (5) ข้อความต่อไปน้ีถกู หรือผดิ (5.1) ถา้ n(A) = 5 แลว้ สบั เซตของ A มีท้ังหมด 32 แบบ (5.2) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สบั เซตแท้ของ A มที ้งั หมด 32 แบบ (5.3) ถา้ n(A) = 5 แลว้ เพาเวอร์เซตของ A มีทัง้ หมด 32 แบบ (5.4) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สมาชกิ ของเพาเวอร์เซตของ A มที ง้ั หมด 32 ตัว (6) ถา้ A มสี ับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มสี มาชกิ ก่ตี ัว และในจาํ นวน 511 เซตน้นั สับเซตทีม่ ีสมาชกิ เพยี ง 5 ตัวมีกีเ่ ซต (7) ขอ้ ความตอ่ ไปน้ีถกู ต้องหรอื ไม่ (7.5) ∅ ∈ P (∅) (7.1) ∅ ∈ ∅ (7.6) ∅ ⊂ P (∅) (7.7) {∅} ∈ P (∅) (7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.8) {∅} ⊂ P (∅) (7.3) ∅ ∈ {∅} (7.4) ∅ ⊂ {∅} (8) ถ้า A = {∅, a, {b}, {a, b}} แล้ว ขอ้ ความต่อไปนถ้ี ูกหรอื ผดิ (8.1) ∅ ∈ P (A) (8.6) a ∈ P (A) (8.2) {∅} ∈ P (A) (8.7) {a} ∈ P (A) (8.3) ∅ ⊂ P (A) (8.8) {b} ∈ P (A) (8.4) {∅} ⊂ P (A) (8.9) {{b}} ∈ P (A) (8.5) {∅, a, {b}} ∈ P (A) (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P (A) (9) ถ้า A = {∅, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} แล้ว ขอ้ ความต่อไปนี้ถูกหรอื ผดิ (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P (A) (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A) (10) [Ent’39] ให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แลว้ จงหา n (X) และ n (Y) เมือ่ กําหนด X = { A ∈ P (S) | 1 ∈ A และ 7 ∉ A } และ Y = { A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 } 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดาํ เนินการของเซต การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ S ¨u´·¼èÕ ´i ºo‹ Â! S (Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนข้ึน การเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมใหเ้ อกภพสมั พัทธ์ U เปน็ กรอบ ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº ·Çèa ä» ¤×oãˌÁÕÊÁÒªi¡ÃNj Á¡¹a ¡o‹ ¹ สเี่ หล่ยี ม ซง่ึ ภายในบรรจุรปู ปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ท่ใี ช้แทน (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æÅnj ¨Ò¡¹é¹a eÁ×èo·ÃÒº ขอบเขตของเซต A, B, C ตา่ งๆ โดยจะเขยี นใหม้ บี ริเวณที่เซต NjҪi¹é ʋǹã´äÁ‹ÁÕÊÁÒªi¡ ¤‹o¢մËÃ×oæÃe§Ò สองเซตซอ้ นทับกนั หากวา่ สองเซตนนั้ มีสมาชิกร่วมกัน ดงั ภาพ ·éi§ä».. ·íÒ溺¹Õoé o¡Òʼi´¨a¹oŒ Âŧ¤Ãaº.. Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 16 เซต U UU A AB AB B A และ B ไมม่ สี มาชิกรว่ มกนั A และ B มสี มาชกิ รว่ มกนั A เป็นสับเซตของ B สมมติว่า A = {0, 1, 2, 3, 4} U 04 1 9 B B = {1, 3, 5, 7, 9} A 2 3 57 C = {2, 3, 5, 7, 11} 11 C จะเขยี นแผนภาพได้ดังนี้ การดาํ เนนิ การเก่ยี วกบั เซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหมข่ น้ึ จากเซตท่ีมอี ยู่เดมิ 1. ยเู นียน (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คอื เซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด U UU A AB AB B ยเู นียนของ A กับ B ได้เป็น B 2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกท่ีอยใู่ นท้ัง A และ B บางตาํ ราใช้สัญลกั ษณเ์ ป็น AB (คือ ละเคร่ืองหมายอนิ เตอร์เซคชันไว้) U UU A AB AB B อินเตอรเ์ ซกชนั ของ A กบั B เป็นเซตวา่ ง อนิ เตอรเ์ ซกชันของ A กับ B เปน็ A 3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ' ) U เซต A' คอื เซตของสมาชกิ ทไี่ ม่ได้อยู่ใน A A บางตาํ ราใชส้ ัญลักษณ์เปน็ Ac หรือ A 4. ผลตา่ ง (Difference หรือ Relative Complement : − ) B − A คอื เซตของส่งิ ที่อย่ใู น B แตไ่ ม่อยใู่ น A ... หรือ B − A = B ∩ A' จะเรยี ก B − A ว่า “คอมพลเี มนต์ของ B เมือ่ เทียบกบั A” กไ็ ด้ U UU A AB AB B ข้อสงั เกต โดยทว่ั ไป n (B − A) ≠ n (B) − n (A) แต่ n (B − A) = n (B) − n (A ∩ B) Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 17 เซต สมบัติที่เก่ียวกับการดําเนินการของเซต • คอมพลเี มนต์ และเพาเวอร์เซต • การแจกแจง (A ∪ B) ' = A '∩ B ' A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) ' = A '∪ B ' P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) หมายเหตุ ในภาษาองั กฤษบางคร้ังอ่าน A ∪ B ว่า A cup B และอ่าน A ∩ B ว่า A cap B • ตัวอยาง กาํ หนด A, B เปนเซตซ่ึง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหห า (ในขอ ก. และ ข. จาํ เปนตองใชค วามเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลีย่ นและจดั หมู ดวย) ก. จํานวนแบบของเซต Y ซงึ่ A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ B ตอบ วธิ ีคดิ ตางจากตวั อยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B ) เลก็ นอย ... ขอนี้ตองการ A ∩ Y ≠ ∅ แสดงวา สมาชกิ 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใ น Y (มีกีต่ วั กไ็ ด แตไมม ีเลยไมไ ดเ พราะจะทําให A ∩ Y = ∅ ) การอยกู ีต่ วั กไ็ ด แตไ มอ ยเู ลยไมได ก็คือการหาสบั เซตทกุ แบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไ่ มใ ชเ ซตวาง นน่ั เอง ใน ขนั้ ตอนนี้จงึ ได 24 − 1 = 15 แบบ ... อีกเงือ่ นไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยใู น Y กีต่ ัวกไ็ ด หรือไมอ ยเู ลยกไ็ ด (เพราะมีเพียง บางตวั ของ 1, 3, 5, 7 กเ็ พียงพอกบั เงือ่ นไข Y ⊂ B แลว) ... ขน้ั นีเ้ หมือนตวั อยา งทีแ่ ลว จึงได 23 = 8 แบบ ... คําตอบขอ นีต้ อ งนาํ สองเงือ่ นไขมาประกอบกัน สรปุ วาท้งั สองขนั้ ตอนทาํ ใหไดผ ลลพั ธต า งๆ กนั ทง้ั สิ้น 15 × 8 = 120 แบบ ข. จาํ นวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ A ตอบ วธิ ีคดิ เหมือนขอ ก. ... นน่ั คือ ตอ งการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชกิ 1, 3 ตองมีอยูใน Z (มีกีต่ วั กไ็ ด แตไ มมีเลยไมไ ดเพราะจะทาํ ให A ∩ Z = ∅ ) ที่สาํ คัญคือ สมาชกิ 2 หา มอยใู น Z เพราะจะ ขัดแยงกับอีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A ) ... ในขนั้ ตอนนีจ้ ึงได 22 − 1 = 3 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตวั กไ็ ด หรือไมอ ยูเลยกไ็ ด (เพราะมีเพียง บางตวั ของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว ) ... ขนั้ นี้เหมือนตัวอยา งทีแ่ ลว จึงได 22 = 4 แบบ ... คาํ ตอบขอนีต้ อ งนาํ สองเงือ่ นไขมาประกอบกนั สรุปวาท้งั สองขนั้ ตอนทําใหไดผลลัพธต า งๆ กันท้งั สนิ้ 3 × 4 = 12 แบบ ค. จํานวนแบบของเซต Z ซงึ่ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ และ Z ⊂ A ตอบ ขอ นีง้ ายทีส่ ุด เนือ่ งจาก ตอ งการ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยใู น Z เลยแมแ ตตวั เดียว เมื่อประกอบกบั อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จงึ ไดวา สมาชกิ 5, 7 เทานน้ั ที่จะอยูใน Z (กี่ ตวั ก็ได หรือไมอ ยูเลยกไ็ ด เพราะแม Z = ∅ ก็ยงั ทาํ ใหเงือ่ นไข Z ⊂ A เปนจริงอยูดี) ... จึงไดค าํ ตอบ เปน 22 = 4 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 18 เซต • ตัวอยา ง ถา C = {∅, {∅}, 0, {{∅}, 0}, {∅, {0}}, {{∅, {0}}}} ใหห าคา ของ ก. n (P (C)) ตอบ เนื่องจาก n(C) = 6 ดังนนั้ n(P (C)) = 26 = 64 ข. n (P (C) − C) ตอบ n(P (C) − C) ไมไดค ดิ จาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยท่ัวไปสมาชิกของ C นน้ั ไมไ ดอยูใน P (C) ทั้งหมด การจะคดิ n(P (C) − C) ตองดูวา สมาชกิ ของ C น้ันอยใู น P (C) กี่ตัว เร่มิ พิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนน้ั การเขียนเพาเวอรเ ซตใหเปนระเบียบยงั มกั จะเร่มิ ดวย ∅ ) ... ตอ มา {∅} ก็ “อย”ู อยูในขัน้ ตอนทีห่ ยิบ สมาชิกจาก C ไปหนึง่ ตัว (เซตวา งที่ปรากฏในนี้เปน สมาชิกตวั แรกสดุ ใน C ) หรือกลา ววา “อย”ู เพราะ ∅ ∈ C ... ตอ มา 0 อนั นี้ “ไมอ ย”ู เพราะไมใ ชเซต สงิ่ ที่อยใู นเพาเวอรเ ซตใดๆ ได ตอ งเปน เซต!... ตอมา {{∅}, 0} อนั นี้ “อย”ู มาจากข้ันตอนที่หยิบสมาชกิ จาก C ไปสองตวั (ในที่นี้เปน ตวั สองกับตัวสาม) หรือ กลาววา “อยู” เพราะ {∅} ∈ C และ 0 ∈ C ... ตอมา {∅, {0}} อนั นี้ “ไมอย”ู เพราะ {0} ∉ C ... และสดุ ทาย {{∅, {0}}} อันนีก้ ็ “อย”ู เพราะวา {∅, {0}} ∈ C มาจากข้ันตอนที่หยบิ สมาชิกจาก C ไป หน่ึงตวั (เปนตวั ที่หา ) นน่ั เอง สรปุ แลว สมาชกิ ของ C น้ันอยูใ น P (C) 4 ตัว ดังนั้น n(P (C) − C) = 64 − 4 = 60 ค. n (C − P (C)) ตอบ n(C − P (C)) กไ็ มไ ดคดิ จาก 6 − 64 ... แตต อ งดวู า สมาชกิ ของ P (C) นน้ั อยใู น C กีต่ ัว ซ่งึ มี วิธีคดิ เชน เดียวกบั ขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n(C ∩ P (C)) = 4 ... ดังน้ัน จึงทาํ ให n (C − P (C)) = 6 − 4 = 2 หากดแู ผนภาพประกอบจะเขา ใจยิ่งขนึ้ เราทราบวา (ขอ ก.) n(C) = 6 และ n(P (C)) = 64 2 4 60 จากน้ันนับในขอ ข. วา n(C ∩ P (C)) = 4 C P(C) จึงได (ข.) n (C − P (C)) = 2 และ (ค.) n (P (C) − C) = 60 ง. n [(P (C) − C) ∪ (C − P (C))] ตอบ จากขอ ข. กบั ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดค าํ ตอบเปน 60 + 2 = 62 (นาํ มาบวกกนั ไดท นั ที เพราะสองสว นนีไ้ มไ ดซ อนทบั กัน) แบบฝกึ หดั 1.2 (11) กําหนดให้ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} B ∩ C = {2, 3, 5} A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} A ∩ C = {0, 3, 5} แลว้ ขอ้ ใดผดิ ก. A ∩ B ' = {0} ข. B ∩ C ' = {1} ค. A ∩ C ' = {1} ง. B ∩ A ' = {2, 4} (12) ให้เขยี นเซต C ' ∪ B ' แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้ U = { x ∈ I | 1 < x < 10 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 19 เซต B = { x | x หาร 3 ลงตวั } และ C = { x | x < 5 } (13) [Ent’38] ถา้ A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แล้ว (13.1) ข้อความต่อไปนถ้ี ูกหรอื ผดิ A ∈ P (B) (13.2) ข้อความตอ่ ไปน้ถี ูกหรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B) (13.3) ค่าของ n (P (A ∪ B)) − n (P (A ∩ B)) เปน็ เทา่ ใด (14) ข้อความตอ่ ไปน้ีถกู หรอื ผิด (14.7) A ∩ A ' = ∅ (14.1) ∅ ' = U (14.8) A ∪ A ' = U (14.2) U ' = ∅ (14.9) A − U = ∅ และ U − A = A ' (14.3) A ⊂ (A ∪ B) (14.10) A − ∅ = A และ ∅ − A = ∅ (14.4) B ⊂ (A ∪ B) (14.11) A − A = ∅ (14.5) (A ∩ B) ⊂ A (14.12) A − B = A ∩ B ' (14.6) (A ∩ B) ⊂ B (15) ขอ้ ความตอ่ ไปนี้ถูกหรอื ผดิ (15.1) ถา้ A ⊂ B แลว้ P (A) ⊂ P (B) (15.2) ถา้ A ∪ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.3) ถ้า A ∩ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แลว้ A ' ∪ C ' = U (15.5) ถ้า A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แล้ว A − C ≠ ∅ (16) สําหรบั เซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนถ้ี กู หรอื ผดิ (16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B (16.5) ถา้ x ∉ A แล้ว x ∉ A ∪ B (16.2) A − B ≠ B − A (16.6) ถา้ x ∈ A แลว้ x ∉ A ' ∩ B ' (16.3) A ∩ B = A − B ' (16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ A ' ∩ B ' (16.4) (A ∪ B) ' = B '− A (16.8) ถ้า x ∈ A แลว้ x ∈ (A ' ∪ B ') ' (17) เขียนเซตต่อไปนีใ้ ห้อยใู่ นรปู ท่ีสัน้ ทีส่ ุด (17.6) (A ∪ B) − B (17.1) A − (A ∩ B) (17.7) (A ∩ B) − B (17.8) A − (A − B) (17.2) (A − B) ∪ B (17.9) (A − B) ∩ (B − A ') (17.3) (A − B) ∩ B (17.4) A ∩ (A − B) (17.5) A ∪ (A − B) (18) ข้อความต่อไปนเ้ี ป็นจริงหรอื ไม่ (18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B (18.2) ถ้า A ∩ C = B ∩ C แลว้ A = B (18.3) ถ้า A − C = B − C แล้ว A = B (18.4) ถา้ A ' = B ' แล้ว A = B (19) ใหบ้ อกเงอื่ นไขทท่ี าํ ให้ A − B = A อยา่ งน้อย 3 กรณี Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 20 เซต (20) เขยี นเซตตอ่ ไปนี้ใหอ้ ย่ใู นรปู ท่ีสนั้ ทีส่ ุด (20.1) [Ent’21] (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) (20.2) [A ∩ (A '∪ B)] ∪ [B ∩ (B '∪ A ')] (20.3) ([(A − B) ∪ (B − A)] − A ') ∪ (A '− [(A − B) ∪ (B − A)]) (20.4) [(A ∪ B) '∩ (B − C ')] ∪ ([(D − E) ∩ (C '− E ')] ∪ (A − E ')) ' (21) ข้อความต่อไปน้ีถูกหรอื ผิด (21.1) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A '∩ B ∩ C) ∪ (B '∪ C ') = U (21.2) (A ∩ B ∩ C ∩ D ') ∪ (A '∩ C) ∪ (B '∩ C) ∪ (C ∩ D) = C (21.3) P (A ∩ B) ⊂ P (A ∪ B) (21.4) P (A − B) ∩ P (B − A) = {∅} (21.5) ถา้ A ⊂ B แล้ว P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B) (22) ให้ A = {0, 1, 2, 3} , B = {{0}, 1, 2, {3}} และ C = {0, {1}, {2}, 3} ขอ้ ความต่อไปน้ีถูกหรอื ผดิ (22.1) P (A) ∩ P (B) ∩ P (C ') = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} (22.2) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C) = {∅, {0}, {3}, {0, 3}} (22.3) P (A ') ∩ P (B) ∩ P (C) = {∅, {0}} (22.4) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C ') = {∅} (23) ถา้ n (U) = 35 , n (A) = 22 , n (B) = 18 ให้หาวา่ n(A '∩ B ') จะมคี า่ มากท่ีสุดได้เท่าใด (24) ถ้า n (A) = a , n (B) = b , n (C) = c , n (D) = d n (A ∩ B) = b , n (B ∩ C) = c , n (C ∩ D) = d แล้ว ใหห้ า n (A ∩ B ∩ C ∩ D) และ n (A ∪ B ∪ C ∪ D) (25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึง่ ,P (C) = {∅, {a}, {c}, C} n (P (A)) = 8 , n (P (B)) = 16 , C ⊂ A , C ⊂ B , {b, d, e} ⊂ A ∪ B และ b ∈ A ∩ B ' ขอ้ ใดผิด ก. d ∈ (A ∪ B ') ' ข. e ∈ (C ∪ B ') ' ค. b ∉ (A ' ∪ B ') ' ง. {b, e} ⊂ (A '∪ B) ' (26) เม่ือ A = {∅, 1, {1}} และ A ∩ B ' = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนถี้ ูกหรือผดิ (26.1) n [ P (A) ∩ P (B) ] = 8 (26.3) P (A − B) = {∅} (26.2) {1} ∈ P (A ∩ B) (26.4) P (B − A) = {∅} (27) [Ent’36] ถ้า A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แล้ว จงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ] (28) มีเซต A ท่ตี รงตามเงื่อนไขตอ่ ไปนีก้ แี่ บบ (28.1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5} (28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2, 4, 6, 8, 10} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 21 เซต (29) กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {1, 2, 3} แลว้ จะมีเซต X ตามเงือ่ นไขตอ่ ไปน้ไี ด้ก่ีแบบ (29.1) B ⊂ X ⊂ A (29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅ (30) ถ้า B ⊂ A โดย n(A) = 10 , n(B) = 4 ใหห้ าค่า n (C) ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ (30.1) C = { S | B ⊂ S ⊂ A } (30.2) C = { S ⊂ A | S ∩ B ≠ ∅ } (31) กาํ หนด A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, 3} ใหห้ าจํานวนเซต X ซ่ึง X ⊂ A และตรงตามเง่ือนไขตอ่ ไปน้ี (31.1) B ∩ C ' ⊂ X (31.3) B ∩ D ⊂ X (31.2) B ∩ C ' ⊄ X (31.4) B ∩ D ⊄ X (32) ถา้ U = {1, 2, 3, 4, ..., 8} A = U − {1} B = {2, 4, 6} และ C = {1, 7} มีเซต D ทเ่ี ป็นไปได้กแ่ี บบทตี่ รงตามเงอ่ื นไข (B '− C) ⊂ D ⊂ A (33) กาํ หนดให้ U = { x ∈ I | −2 < x < 6 } เมอื่ I = เซตของจาํ นวนเต็ม A = { k2 | k ∈ U } และ B = { k | k ∈ U } จาํ นวนสมาชิกของเซต C = { x | A ∩ B ⊂ x และ x ⊂ A ∪ B } เปน็ เท่าใด (34) ให้ A = {a, b, c, d, f} และ B = {a, c, d, e} เซต X ซงึ่ X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มีกี่เซต (35) ให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ Sk = { B ⊂ A | n (B) = k } ใหห้ าค่า n (S) เมือ่ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 (36) กาํ หนดเซต A, B เปน็ สับเซตของ U หาก n(U) = 100 , n(A ') = 40 , n(B) = 55 , n (A ∩ B ') = 32 แล้วค่าของ n (A '∩ B ') เปน็ เทา่ ใด 1.3 โจทยป์ ญั หาเก่ยี วกับเซต • โจทยป์ ญั หาท่เี ป็นเหตกุ ารณ์ จะใชแ้ ผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ชว่ ยในการคาํ นวณสว่ นประกอบต่างๆ และมีสตู รในการหาจาํ นวนสมาชกิ ในเซตเพมิ่ เติมดังนี้ สําหรับ 2 เซต ·Òí ¤ÇÒÁe¢ŒÒ㨴ŒÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡´ç Õ¹a¤Ãaº.. n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = +- สําหรับ 3 เซต = ++ -- - + n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 22 เซต • ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหน่งึ ซงึ่ มีจํานวน 30 คน พบวามีนกั เรียนชอบเรียนวิชา คณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาองั กฤษ 15 คน โดยชอบทงั้ สองวิชาอยู 5 คน ถามวา มีนักเรียนใน หอ งนีท้ ีไ่ มชอบเลยทงั้ สองวิชาอยกู ีค่ น วิธีคิด จะสังเกตไดว า U คือนกั เรียนในหองนี้ และมีเซตอยูส องเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กบั ชอบ เรียนภาษาอังกฤษ (ซ่ึงมีบางคนชอบทั้งสองวชิ า แสดงวาสองเซตนีม้ ีสว นซอ นทบั กนั ) U ค วิธีที่ 1 “ชอบทัง้ สองวชิ าอยู 5 คน” จะได ชอ ง ข เปน 5 กข “ชอบเรียนคณติ ศาสตร 12 คน” จะได ชอ ง ก เปน 12-5=7 Eng ง “ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10 Math ดงั นัน้ จํานวนคนที่ไมช อบเลยทง้ั สองวิชา คือชอ ง ง น้นั สามารถคาํ นวณไดดังนี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบ วิธีที่ 2 ขอ มลู ที่โจทยใ หมาไดแ ก n(M) = 12 , n(E) = 15 , และ n(M ∩ E) = 5 … ดังนนั้ เราหา n(M ∪ E) ไดตามสตู ร n(M ∪ E) = 12 + 15 − 5 = 22 ดงั นั้น จาํ นวนคนทีไ่ มชอบเลยทั้งสองวชิ า เทา กับ 30 − 22 = 8 คน ... ตอบ • ตวั อยา ง ในการสอบของนกั เรียนชน้ั หน่ึง พบวา มีผสู อบผา นวชิ าคณิตศาสตร 37 คน วชิ าสงั คมศกึ ษา 48 คน วิชาภาษาไทย 45 คน โดยมีผทู ี่สอบผา นทง้ั วชิ าคณิตศาสตรแ ละสงั คมศึกษา 15 คน ท้งั สังคมศกึ ษาและ ภาษาไทย 13 คน ทั้งคณติ ศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผทู ี่สอบผานทงั้ สามวชิ าเพียง 5 คน ถามวาที่ กลา วมานี้มีนกั เรียนอยทู ั้งหมดจาํ นวนเทา ใด วิธีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผา นคณติ ศาสตร สอบผา นสงั คมศกึ ษา และสอบผา นภาษาไทย (ซง่ึ มี ผูสอบผา นหลายวชิ า แสดงวา สามเซตนีม้ ีสวนซอนทับกนั ) โจทยไ มไ ดก ลา วถงึ ผสู อบไมผา น ดังนน้ั อาจไม ตอ งเขียนกรอบสี่เหลีย่ มแทน U กไ็ ด (คือไมมีชอง ซ) Math Social วิธีที่ 1 “ผานท้งั สามวชิ าอยู 5 คน” จะได ชอ ง จ เปน 5 กข ค พิจารณาการสอบผา นสองวชิ า จะได ชอง ข เปน 15-5=10, ชอง ฉ เปน 13-5=8, ชอง ง เปน 7-5=2 งจฉ พจิ ารณาการสอบผานหนึง่ วิชา จะได ชอง ก 37-10-5-2=20, ช ชอง ค 48-10-5-8=25, และชอง ช 45-2-5-8=30 Thai ดังนนั้ จํานวนคนรวมทกุ ชอง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบ วิธีที่ 2 ขอ มูลทีโ่ จทยใ หมาไดแ ก n(M) = 37 , n(S) = 48 , n(T) = 45 n (M ∩ S ∩ T) = 5 , , และ …n (M ∩ S) = 15 n (S ∩ T) = 13 n (M ∩ T) = 7 ดงั น้ัน เราหา n (M ∪ S ∪ T) ไดจาก n (M ∪ S ∪ T) = 37+48+45−15−13−7+5 = 100 ดงั น้ัน จํานวนนกั เรียนท้งั หมดในชนั้ (ที่กลา วถงึ ) เทา กบั 100 คน ... ตอบ ถงึ แมก้ ารคิดด้วยสตู ร (วิธีทสี่ อง) ทําให้คํานวณได้รวดเร็ว แต่โจทยบ์ างขอ้ กเ็ หมาะกับวธิ ีแรก (แยก ชน้ิ สว่ น) เทา่ นั้น ดงั เช่นโจทยส์ ่วนใหญใ่ นแบบฝกึ หดั ตอ่ ไป Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 23 เซต แบบฝึกหดั 1.3 (37) นักเรียน 80 คน เป็นนกั กฬี า 35 คน เป็นนักดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทงั้ นกั กฬี าและนกั ดนตรี 32 คน ถามว่ามนี กั เรียนท่ไี มไ่ ด้เปน็ นักกฬี า หรอื ไม่ได้เปน็ นักดนตรี อยู่กีค่ น (38) [Ent’33] จากการสาํ รวจนักเรยี นห้องหนง่ึ พบว่ามี 20 คนทเ่ี รียนฝร่งั เศสหรือคณติ ศาสตร์ (โดยท่ีหากเรยี นฝรัง่ เศสแลว้ ต้องไมเ่ รียนคณิตศาสตร์) มี 17 คนทไี่ มเ่ รยี นคณติ ศาสตร์ และมี 15 คนทไี่ ม่เรียนฝร่ังเศส แลว้ มกี ค่ี นท่ไี มเ่ รยี นท้งั สองวิชาน้เี ลย (39) [Ent’34] จากการสอบถามผดู้ ่ืมกาแฟ 20 คน พบว่าจาํ นวนผใู้ สค่ รีม น้อยกว่าสองเท่าของผ้ใู ส่ น้าํ ตาลอยู่ 7 คน และจาํ นวนผ้ทู ใ่ี ส่ทั้งครีมและน้ําตาล เทา่ กบั จาํ นวนผูท้ ีไ่ ม่ใส่ทง้ั ครมี และน้ําตาล ดงั นน้ั มีผูท้ ี่ใส่ครีมทัง้ หมดก่คี น (40) พนกั งานบรษิ ัท 34 คน ถูกสาํ รวจเกย่ี วกบั การสวมนาฬิกา แว่นตา และแหวน ปรากฏวา่ สวม แว่นอย่างเดยี ว 5 คน จาํ นวนคนสวมนาฬกิ ามากกวา่ จํานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่ สวมนาฬกิ าเป็น 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนน้ั คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แตค่ น สวมนาฬิกาไม่มคี นใดสวมแว่น จะมคี นสวมนาฬิกากี่คน (41) [Ent’26] นกั เรียนคนหนง่ึ ไปพกั ผ่อนทพ่ี ัทยา ตลอดช่วงเวลานนั้ เขาสงั เกตได้วา่ มีฝนตก 7 วนั ในชว่ งเช้าหรอื เยน็ โดยถ้าวนั ใดฝนตกชว่ งเช้าแลว้ จะไมต่ กในช่วงเย็น, มี 6 วนั ท่ีฝนไมต่ กในชว่ งเชา้ และมี 5 วนั ทีฝ่ นไมต่ กในช่วงเยน็ ถามว่านกั เรยี นคนนี้ไปพกั ผ่อนท่พี ัทยากวี่ นั (42) จากการสํารวจสายตาและสขุ ภาพฟนั ของนักเรียน 160 คน ซึ่งมนี กั เรียนชายอยู่ 100 คน (นกั เรยี นชายสายตาไมด่ ี 30 คน และฟนั ผุ 35 คน) พบวา่ มนี ักเรยี นทส่ี ายตาดแี ละฟันไม่ผุอยู่ 80 คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนกั เรียนทส่ี ายตาไมด่ ีท้งั หมด 50 คน ฟันผทุ ั้งหมด 60 คน ถามว่ามี นกั เรยี นท่ีสายตาดี หรือ ฟันไม่ผุ รวมท้ังหมดก่ีคน (43) ในจํานวนนกั เรยี น 35 คนซ่งึ เปน็ หญิง 11 คน ถา้ พบวา่ ชอบเลน่ บาสเกตบอลกับฟตุ บอลอยา่ ง น้อยคนละอยา่ ง โดยมนี ักเรียนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรียนหญงิ 7 คนชอบฟตุ บอล นักเรียนชอบบาสเกตบอลทั้งหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านักเรยี นชายที่ชอบทัง้ สองอยา่ งมีกี่ คน (44) โรงเรยี นแหง่ หนงึ่ มีนกั เรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจาํ นวนนม้ี ีนักเรียนทมี่ าจาก ต่างจังหวดั รวม 300 คน เป็นผชู้ าย 200 คน และมีนักกีฬารวม 50 คน เป็นผ้ชู าย 30 คน โดยมี นกั กฬี าที่มาจากต่างจังหวดั 25 คน เป็นชาย 15 คน ถามวา่ นกั เรยี นชายทีไ่ ม่ได้มาจากต่างจงั หวัด และไมไ่ ด้เป็นนักกฬี าดว้ ย มกี ่คี น (45) เซตของจาํ นวนเต็มเซตหน่งึ หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตวั อย่างเดียว 6 จาํ นวน, 3 หารลงตวั ท้ังหมด 8 จาํ นวน ซึง่ เป็นจาํ นวนคู่ 3 จาํ นวน, ท้งั 3 และ 4 หารลงตวั มี 2 จํานวน, และ 4 หารไมล่ งตวั 18 จาํ นวน ซึง่ เป็นจาํ นวนคู่ 4 จาํ นวน ถามว่าจาํ นวนสมาชกิ ของเซตน้ี เปน็ เท่าใด, จาํ นวนคใู่ นเซตน้ีมีกจ่ี ํานวน, และมีจํานวนท่ี 3 หรือ 4 หารไมล่ งตวั กี่จาํ นวน (46) [Ent’31] จากการสํารวจความนิยมของผู้ไปเทยี่ วสวนสตั ว์ 100 คน พบวา่ 50 คนชอบช้าง, 35 คนชอบลิง, 25 คนชอบหม,ี 32 คนชอบแต่ชา้ ง, 20 คนชอบหมแี ตไ่ มช่ อบลิง, 10 คนชอบชา้ งและลิง แต่ไมช่ อบหม,ี ให้หาจาํ นวนคนที่ไมช่ อบสัตว์ทง้ั สามชนิดนี้เลย Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 24 เซต (47) [Ent’38] จากการสํารวจผู้ฟงั เพลง 180 คน พบวา่ มีผูช้ อบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทย เดิม 92 คน และลกู ทุง่ 125 คน โดยแบง่ เปน็ ผูช้ อบเพลงไทยสากลและไทยเดมิ 52 คน เพลงไทย สากลและลกู ทงุ่ 43 คน เพลงไทยเดมิ และลูกทุ่ง 57 คน และทุกคนจะชอบฟังเพลงอย่างนอ้ ยหนง่ึ ใน สามประเภท จงหาจํานวนผทู้ ่ชี อบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว (48) [Ent’39] ในการสาํ รวจความนิยมของคน 100 คน ทม่ี ีตอ่ นาย U ก, ข, ค โดยทที่ กุ คนตอ้ งแสดงความนยิ มใหอ้ ย่างน้อย 1 คน ปรากฏ 20 ข วา่ นาย ก ไดร้ ับคะแนนนิยมมากกว่านาย ข อยู่ 6 คะแนน และเขียน ก 22 23 11 ค แผนภาพได้ดงั รูป ต่อไปน้ีข้อใดผดิ 9 ก. นาย ข ได้คะแนนนยิ มน้อยทส่ี ุด ข. ผลรวมของคะแนนทั้งสามคน เปน็ 199 ค. ผทู้ ่ลี งคะแนนให้ นาย ก เท่าน้ัน มี 10 คน ง. ผลรวมของคะแนนท่ลี งใหค้ นใดคนหน่ึงเพยี งคนเดยี ว เทา่ กับ 24 (49) ในบรรดานักกีฬา 100 คนซึ่งเป็นชาย 60 คน พบว่ามนี กั บาสเกตบอล 35 คน เป็นชาย 20 คน, มีนักเทนนสิ 28 คน เปน็ ชาย 15 คน, มีนักวอลเลยบ์ อล 40 คน เป็นชาย 22 คน, เป็นทั้งนกั บาสเกตบอลและเทนนิส 14 คน เป็นชาย 6 คน, เป็นทงั้ นักเทนนสิ และวอลเลย์บอล 16 คน เป็น ชาย 10 คน, เป็นทัง้ นกั บาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 20 คน เป็นชาย 11 คน, และมีนกั กีฬาทไ่ี ม่ได้ เล่นกฬี าสามประเภทน้ีเลย 12 คน เป็นชาย 8 คน ใหห้ าว่านกั กฬี าท่เี ลน่ ครบทงั้ สามประเภทมีผชู้ าย มากกวา่ ผ้หู ญิงกค่ี น (50) จาํ นวนเต็มต้งั แต่ 0 ถงึ 100 มกี จี่ าํ นวนที่หาร 2 และ 3 และ 5 ไม่ลงตวั เฉลยแบบฝึกหดั (คาํ ตอบ) (1) ขอ้ (1.1) และ (1.4) ถูก (17.1) A − B (17.2) A ∪ B (29.1) 16 (2) ขอ้ (2.1) และ (2.3) ถูก (29.2) (8 − 1)× 16 (3) ขอ้ (3.1) ถกู (17.3) ∅ (17.4) A − B (4) ข้อ (4.3) ผดิ (30.1) 64 (5) ขอ้ (5.1) และ (5.4) ถูก (17.5) A (17.6) A − B (30.2) (16 − 1)×64 (6) 9 ตัว, 126 เซต (7) ขอ้ (7.1) และ (7.7) ผดิ (17.7) ∅ (17.8) A ∩ B (31.1) 16 (31.2) 16 (8) ขอ้ (8.6), (8.8), (8.10) ผดิ (31.3) 8 (31.4) 24 (9) ขอ้ (9.3) ผดิ (17.9) ∅ (32) 16 (33) 4 (10) 32, 6 (18) ข้อ (18.4) ถกู (34) 56 (35) 31 (11) ข. (19) A = ∅ หรอื B = ∅ (36) 13 (37) 66 (12) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} หรือ A ∩ B = ∅ (38) 6 (39) 11 (13) ผิด, ผิด, 16-2 (20.1) A ∪ B (20.2) B (14) ถูกทุกข้อ (15) ข้อ (15.3) และ (15.5) ผดิ (20.3) B ' (20.4) (A ∩ E)' (40) 13 (41) 9 (16) ขอ้ (16.3),(16.4),(16.6) ถูก (21) ถกู ทกุ ข้อ (22) ขอ้ (22.3) ผิด (42) 130 (43) 6 (23) 13 (24) d, a (25) ง. (44) 385 (45) 26, 12, 24 (26) ขอ้ (26.4) ผดิ (46) 13 (47) 20 (27) 61+3 (48) ค. (49) 22-13 (28.1) 8 (28.2) 32 (50) 26 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 25 เซต เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธีคดิ ) (1.1) ถูก เพราะ ถา้ x ∈ A (7.1) ผิด เพราะเซตวา่ งตัวขวาตอ้ งไม่มสี มาชกิ แสดงว่า x ∈ B ด้วย ดงั รปู xA → แต่ถ้าเปน็ แบบขอ้ (7.3) จะถกู (1.2) ผิด เพราะโจทยบ์ อกแค่ (7.2) ถกู เพราะว่าเซตวา่ งตัวขวามีซบั เซต 20 = 1 เพยี ง y ∈ B , ยงั ไมช่ ดั เจนวา่ B แบบ คอื ∅ (ตัวมนั เอง) y ∈ A หรอื ไม่ (อาจจะอยู่หรอื ไมอ่ ย)ู่ หรืออาจบอกวา่ เพราะ “ ∅ (ตัวซา้ ย) จะเปน็ สับเซต (1.3) ผดิ ถ้า {A} ⊂ {B} แสดงวา่ A ∈ {B} ซง่ึ ของเซตใดๆ ทุกเซต” กไ็ ด้ (7.4) ถูก เหตผุ ลเดยี วกบั ข้อ (7.2) นัน่ คือ รปู แบบ ผดิ เพราะ {B} มีสมาชิกตวั เดยี วคอื B ∅ ⊂ , จะถกู เสมอ → ดงั นั้น (7.6) ก็ถกู เชน่ กนั (1.4) ถกู เพราะ A ≠ B (โจทยก์ ําหนด) ดงั น้นั (7.5) ถกู เพราะ ∅ ∈ P(∅) แปลวา่ ∅ ⊂ ∅ (จะ {A} ≠ {B} แนน่ อน เหมือนกับโจทย์ขอ้ 7.2) (2.1) ถกู (ในโจทยน์ น้ั A มีสมาชกิ อยู่ 5 ตวั และ (7.7) ผดิ เพราะ {∅} ∈ P(∅) แปลวา่ {∅} ⊂ ∅ {∅} เปน็ สมาชกิ อยใู่ นลาํ ดับแรกสุด) (2.2) ผิด เพราะ {∅} ⊂ A แปลวา่ ∅ ∈ A ซงึ่ ไม่ และแปลวา่ ∅ ∈ ∅ (จะเหมือนกบั โจทยข์ อ้ 7.1) จริง (7.8) ถกู เพราะ {∅} ⊂ P(∅) แปลวา่ ∅ ∈ P(∅) และแปลว่า ∅ ⊂ ∅ ถูก (จะเหมอื นกบั โจทยข์ อ้ (2.3) ถกู เพราะ {{a}, b} ⊂ A แปลวา่ {a} ∈ A 7.2) (8.1) ∅ ∈ P(A) แปลว่า ∅ ⊂ A → ถูกเสมอ ไม่ และ b ∈ A ซงึ่ จริง (2.4) {a, b} ∈ A ถูก (เปน็ สมาชิกอยู่ในลาํ ดับ วา่ A เปน็ เซตใดๆ ก็ตาม (รูปแบบ ∅ ⊂ , ) สุดทา้ ยในโจทย์) แต่ {a, b} ⊄ A นนั้ ผดิ (8.2) {∅} ∈ P(A) แปลวา่ {∅} ⊂ A และแปลวา่ เพราะวา่ a ∈ A และ b ∈ A ดว้ ย แสดงวา่ ∅ ∈ A → ถกู (เพราะในโจทย์ มี ∅ อยใู่ น A {a, b} เปน็ สบั เซตของ A แน่ๆ ดังนน้ั ตอบ ผดิ ดว้ ย) (8.3) ∅ ⊂ P(A) ถกู ทนั ทเี ลย! เพราะเปน็ รปู แบบ (3.1) ถูก (ข้อนเี้ ปน็ กฎที่ควรทราบ) (3.2) ผิด เช่น B = {A}, C = {B} ดังนน้ั ∅⊂, C = {{A}} ... จงึ ไดว้ า่ A ∉ C (8.4) {∅} ⊂ P(A) แปลวา่ ∅ ∈ P(A) ตรงกบั (3.3) ผดิ เช่น A ⊂ C (A อยูใ่ น C) โจทยข์ อ้ (8.1) ซึ่งถกู แต่ B อยู่นอก A กบั C ดังรปู (8.5) ถูก เพราะ {∅, a, {b}} ∈ P(A) แปลวา่ A {∅, a, {b}} ⊂ A (4.1) และ (4.2) ถกู B C และแปลไดว้ า่ ∅ ∈ A และ a ∈ A และ {b} ∈ A ซึง่ พบวา่ เปน็ จรงิ ท้งั หมด (เป็นไปตามนิยามของการเขียนเงอ่ื นไขเซต) (8.6) เปน็ ไปไมไ่ ดท้ สี่ มาชกิ ของ P(A) ไม่ได้เป็นเซต (4.3) ผดิ เพราะ {x} ⊂ A คอื x ∈ A จงึ ตอ้ ง → ข้อนีจ้ งึ ผดิ ไดผ้ ลเหมือนขอ้ (4.2) (8.7) {a} ∈ P(A) แปลว่า {a} ⊂ A แปลว่า (4.4) ถกู เพราะ {x} ⊂ ∅ คอื x ∈ ∅ ซ่งึ พบวา่ a ∈ A → ถูก ไมม่ ี x ใดๆ ตรงตามน้ี ดงั นัน้ เซตในขอ้ นจี้ งึ เปน็ เซต (8.8) {b} ∈ P(A) แปลว่า {b} ⊂ A แปลว่า ว่าง b ∈ A → ผดิ (5.1) ถูก คํานวณจาก 25 = 32 ... แต่ (5.2) ผิด เพราะตอ้ งเหลอื 31 แบบ (25 − 1) (8.9) ถูก วธิ คี ดิ เดยี วกบั ขอ้ (8.8) นั่นคอื {b} ∈ A เป็นจริง (5.3) ผิด เพราะ P(A) จะมีเพยี ง 1 แบบเท่านนั้ (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P(A) แปลวา่ ∅ ∈ P(A) แตภ่ ายใน P(A) มสี มาชกิ อยู่ 32 ตวั ... (5.4) จึงถูก จริง, a ∈ P(A) ไม่จริง, {b} ∈ P(A) ไมจ่ ริง ดงั นน้ั (6) จาก 2n = 512 จึงได้ n = 9 ตวั ขอ้ นผี้ ดิ และสบั เซตทดี่ งึ สมาชกิ มา 5 ตวั จาก 9 ตวั มอี ยู่ 9! = 126 เซต (แบบ) 5!4! Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 26 เซต (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P(A) แปลว่า (13.1) A ∈ P(B) คือ A ⊂ B ดงั นั้น ผดิ {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ A (เพราะ 1 ∉ B ) แปลวา่ ∅ ∈ A และ {1} ∈ A และ {1, 2} ∈ A ซึ่ง (13.2) จาก P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) เปน็ จรงิ ทง้ั หมด ดังนนั้ ขอ้ น้ีถูก = P({0}) = {∅, {0}} ดงั นั้น ขอ้ น้ีก็ผดิ (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P(A) แปลวา่ (เพราะ {1} ∉ P(A) ∩ P(B) ) (13.3) A ∪ B = {0, 1, {1}, {0, 1}} จะได้ ∅ ∈ P(A) → ∅ ⊂ A และ {1} ∈ P(A) → {1} ⊂ A → 1 ∈ A n(P(A ∪ B)) = 24 = 16 และ {1, 2} ∈ P(A) → {1, 2} ⊂ A → 1 ∈ A, 2 ∈ A A ∩ B = {0} จะได้ n(P(A ∩ B)) = 21 = 2 ซ่ึงพบวา่ เปน็ จริงทุกอยา่ ง ดงั นน้ั ขอ้ นี้ถกู ดังนน้ั ตอบ 16 − 2 = 14 (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P(A) แปลวา่ (14.1) และ (14.2) ถูก เพราะ U กบั ∅ เปน็ ส่วนเติมเตม็ (complement) ของกันและกัน {{1}, {2}, {3}} ⊂ A และแปลวา่ {1} ∈ A, {2} ∈ A, {3} ∈ A ซ่งึ ผดิ (14.3) ถึง (14.6) ถูกท้งั หมด พิจารณาจาก (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P(A) แปลวา่ แผนภาพจะงา่ ยทสี่ ดุ {1} ∈ P(A), {2} ∈ P(A), {3} ∈ P(A) (14.7) และ (14.11) A − A = ∅ ถูก กค็ อื {1} ⊂ A, {2} ⊂ A, {3} ⊂ A หรือแปลอกี ที (14.8) ถงึ (14.10) ถูก ... (14.12) ถูก (ตอ้ ง รู!้ ) 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A ซ่งึ ถกู (10) สําหรบั การหา n(X) แปลวา่ “ใหห้ าวา่ มเี ซต (15.1) ถูก (เปน็ สงิ่ ท่ีควรทราบ) A ทเี่ ปน็ ไปไดก้ ่ีแบบตามเงอ่ื นไขน”ี้ (15.2) ถกู A ∪ B = ∅ แสดงวา่ ตอ้ งไมม่ เี ซตใดมี (ก) A ∈ P(S) (แปลวา่ A ⊂ S ) สมาชิกอยูเ่ ลย กับ (ข) 1 ∈ A และ 7 ∉ A (แปลวา่ ใน A ตอ้ งมี 1 และตอ้ งไมม่ ี 7) (15.3) ผิด ถา้ A กับ B ไม่มีสมาชกิ รว่ มกัน ก็ แสดงว่า มีเฉพาะ 2, 3, 4, 5, 6 เท่าน้นั ที่เลอื กได้ วา่ จะอยหู่ รอื ไม่อยู่ใน A ... ก็เปรยี บเสมอื นการหา สามารถทาํ ให้ A ∩ B = ∅ ได้ หรือเมอื่ A กบั B จํานวนสับเซตแบบต่างๆ ของ {2, 3, 4, 5, 6} ..ฉะนัน้ เป็นเซตวา่ ง เพยี งเซตใดเซตหนึ่งกไ็ ด้ n(X) = 25 = 32 (15.4) A − B = ∅ แสดงวา่ A ⊂ B B − C = B แสดงวา่ B กบั C แยกจากกนั (B ∩ C = ∅) ดังรปู A ส่วน n(Y) ใหห้ าวา่ มี A เป็นไปไดก้ ี่แบบ ซง่ึ A ∈ x และผลบวกไมเ่ กนิ 6 C B วิธีคดิ ตอ้ งนบั เอาโดยตรงเทา่ นนั้ ไดแ้ ก่ ถกู {1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5} และ {1, 2, 3} ดงั นนั้ A ' ∪ C ' = (A ∩ C) ' = ∅ ' = U พบว่ามี A ที่เปน็ ไปได้ 6 แบบ ..ฉะน้ัน n(Y) = 6 (เพราะ A กับ C กแ็ ยกจากกนั ) (15.5) A − B = ∅ แปลวา่ A ⊂ B (11) จาก A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C จะทาํ ใหท้ ราบวา่ B − C ≠ ∅ แปลวา่ B ⊄ C A ∩ B ∩ C = {3, 5} จากนน้ั วาดแผนภาพ A − C ≠ ∅ แปลวา่ A ⊄ C 1 B จาก A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} ดังนน้ั เปลย่ี นโจทยก์ ลายเปน็ 3 52 4 แสดงวา่ ใน A กับ C สว่ นท่ี \" A ⊂ B และ B ⊄ C A AC 0 เหลอื ไมม่ สี มาชิกใดเลย และ แลว้ A ⊄ C \" อนั นเี้ ทจ็ B 4 ∈ B ดังนนั้ เชน่ รปู นี้ A ⊂ C ได้ ก. A − B = {0} ถกู C (16.1) ผิด เชน่ ถ้า A = B จะได้ ข. B − C = {1} ผิด ..ต้องได้ {1, 4} A ∩ B = A ∪ B = A = B ดว้ ย ค. A − C = {1} ถูก (16.2) ผิด เชน่ ถา้ A = B จะได้ ง. B − A = {2, 4} ถูก A−B =B−A = ∅ (12) U = {1, 2, 3, ..., 10} → B = {3, 6, 9} และ C = {1, 2, 3, 4, 5} ต้องการหาเซต C ' ∪ B ' กค็ อื (16.3) ถกู เสมอ มาจากกฎ (C ∩ B)' ซ่งึ เราได้ C ∩ B = {3} ดังนน้ั ตอบ A − B ' = A ∩ (B ') ' = A ∩ B {1, 2, 4, 5, 6, 7, ..., 10} (16.4) B '− A = B '∩ A ' = (B ∪ A) ' ถกู (16.5) ผิด x อาจมาจากใน B กไ็ ด้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 27 เซต (16.6) A ' ∩ B ' = (A ∪ B) ' (20.4) มถี งึ 5 เซต จึงต้องใช้การแจกแจงช่วยคดิ ถ้า x ∈ A แลว้ x ∉ (A ∪ B) ' ..ถูก (วาดแผนภาพไม่ได้) (16.7) ถา้ x ∉ A แลว้ x ∈ (A ∪ B)' ..ผิด กอ้ นซ้ายได้ A '∩ B' ∩B ∩ C = ∅ ( x อาจอยู่ใน B ได)้ ∅ (16.8) ถา้ x ∈ A แลว้ x ∈ A ∩ B ..ผดิ ( x อาจอยเู่ พียงใน A โดยไมอ่ ยู่ใน B ) ก้อนกลางได้ D ∩ E' ∩C'∩E = ∅ (17) ใชก้ ารมองจากแผนภาพจะงา่ ยทส่ี ดุ ∅ (แผนภาพจะตอ้ งเป็นแบบท่ัวไป คอื มสี ว่ นซอ้ นทบั กนั ) ก้อนขวาได้ A ∩ E U รวมกันได้ ∅ ∪ (∅ ∪ (A ∩ E)) ' = (A ∩ E) ' (21.1) จากโจทย์ ดงึ B ∩ C ออกจากสองวงเล็บ แรก กข ค = [(A∪A' ) ∩ B ∩ C] ∪ (B ∩ C) ' ง U AB = (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ' = U ถูก A−B A∩B B−A (21.2) จากโจทย์ ดึง C ออกจากทกุ วงเล็บ (17.1) A − (A ∩ B) ⇒ กข – ข = ก ⇒ ตอบ = C ∩ [(A ∩ B ∩ D ') ∪ A '∪ B '∪ D] A −B จดั รูป A, B, D ตวั หลงั ใหม่ = C ∩ [ (A∩B∩D')∪(A∩B∩D')' ] = C ถูก (17.2) (A − B) ∪ B ⇒ ก ∪ ขค = กขค ⇒ U ตอบ A ∪ B (17.3) (A − B) ∩ B ⇒ ก ∩ ขค = ∅ (21.3) ถูกเสมอ เพราะ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) และมกี ฎอยวู่ ่า ถา้ , ⊂ + แลว้ P(,) ⊂ P(+) ขอ้ อน่ื ๆ กส็ ามารถคิดดว้ ยวธิ ีเดียวกนั ไดค้ ําตอบดังน้ี (21.4) A − B กบั B − A ไมม่ ีสมาชกิ ร่วมกนั (17.4) A ∩ (A − B) = A − B ดังนน้ั ภายในเซต P(A − B) กบั เซต P(B − A) จะมี (17.5) A ∪ (A − B) = A สมาชิกท่ีเหมอื นกนั เพยี งตัวเดยี วคือ ∅ → ขอ้ นถ้ี ูก (17.6) (A ∪ B) − B = A − B (21.5) ถ้า A ⊂ B จะไดว้ า่ P(A) ⊂ P(B) ดังนนั้ (17.7) (A ∩ B) − B = ∅ P(A) ∪ P(B) = P(B) ...... (1) (17.8) A − (A − B) = A ∩ B และถา้ A ⊂ B จะได้ A ∪ B = B ด้วย ดังนัน้ (17.9) เน่อื งจาก B − A ' = B ∩ A ดังนนั้ P(A ∪ B) = P(B) ..... (2) ดงั นน้ั (1)=(2) ถกู (A − B) ∩ (B − A ') ⇒ ก ∩ ข = ∅ (22) ใชห้ ลกั วา่ (18.1) ผดิ เชน่ หาก C = U แล้ว A กบั B ไม่ จาํ เปน็ ตอ้ งเทา่ กนั P(,) ∩ P(Δ) ∩ P(Ο) = P(, ∩ Δ ∩ Ο) (18.2) ผดิ เชน่ หาก C = ∅ (18.3) ผดิ เชน่ หาก C = U ** ใชไ้ ดเ้ ฉพาะเครือ่ งหมาย ∩ (18.4) ถกู (22.1) A ∩ B ∩ C ' = {1, 2} ถูก (19) B = ∅ หรือ A ∩ B = ∅ (แยกกันอย)ู่ (22.2) A ∩ B '∩ C = {0, 3} ถูก หรอื A = ∅ (22.3) A '∩ B ∩ C = ∅ ข้อนผ้ี ดิ (20) ถ้ามเี พยี ง 2 เซต สามารถใช้วิธที ดเอาจาก ทถ่ี กู ตอ้ งเปน็ P(A '∩ B ∩ C) = {∅} แผนภาพเซตเหมอื นขอ้ (17) (22.4) A ∩ B '∩ C ' = ∅ ถูก (20.1) ก ∪ ค ∪ ข = กขค = A ∪ B (23) n(A '∩ B ') = n(A ∪ B) ' มีคา่ มากสุด กค็ อื (20.2) (กข ∩ ขคง) ∪ (ขค ∩ กคง) =ข ∪ ค= B n(A ∪ B) มีคา่ นอ้ ยสดุ ..จะเกิดขน้ึ เม่อื B ⊂ A (20.3) (กค – คง) ∪ (คง – กค) = ก ∪ ง ทําให้ n(A ∪ B) = n(A) = 22 = B' ดังนน้ั n(A ∪ B) ' = 35 − 22 = 13 (24) n(A) = a , n(B) = b แต่ n(A ∩ B) = b แสดงวา่ B อยูใ่ น A ทงั้ หมด (B ⊂ A ) และเชน่ เดียวกนั จะพบวา่ D ⊂ C ⊂ B ⊂ A ดังนนั้ n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = n(D) = d และ n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) = a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 28 เซต (25) จาก P(C) ในโจทย์ จะได้ C = {a, c} (33) U = {−2, −1, 0, 1, 2, ..., 6} n(P(A)) = 8 คอื n(A) = 3 A = {0, 1, 4} → เกินจากนจ้ี ะไมอ่ ยู่ใน U n(P(B)) = 16 คอื n(B) = 4 B = {0, 1, 2} ดงั น้นั และจาก C ⊂ A และ C ⊂ B จะได้วา่ {0, 1} ⊂ X ⊂ {0, 1, 2, 4} → n(C) = 22 = 4 A = {a, c,,} และ B = {a, c, Δ, Ο} (34) x ⊂ {a, b, c, d, e, f} และ จาก {b, d, e} ⊂ A ∪ B โดย b ∈ A ∩ B ' จะไดว้ า่ {a, c, d} ∩ X ≠ ∅ แสดงวา่ A = {a, c, b} และ B = {a, c, d, e} X = { สบั เซตของ{a,c,d}ทไี่ ม่ใช่ ∅ , สบั เซตใดๆ ก. d ∈ A '∩ B (อยู่ใน B และไมอ่ ยู่ใน A ) ถกู ของ{b,e,f} } → (23 − 1)(23) = 56 แบบ ข. e ∈ C '∩ B → ถูก (35) เนอ่ื งจาก n(A) = 5 และ ค. b ∉ A ∩ B → ถูก ,S1 = {B | B ⊂ A, n(B) = 1} ง. {b, e} ⊂ A ∩ B ' ผดิ S2 = {B | B ⊂ A, n(B) = 2} , ... เพราะ A ∩ B ' = A − B = {b} ไปจนถงึ S5 = {B | B ⊂ A, n(B) = 5} จะไดว้ า่ (26) A ∩ B ' = A − B = ∅ แสดงวา่ A ⊂ B S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 = เซตของสับเซต (คอื A ∩ B = A ) (26.1) n[P(A ∩ B)] = n[P(A)] = 23 = 8 ถูก ของ A ทกุ แบบ ยกเว้น ∅ (n(B)=0) (26.2) {1} ∈ P(A ∩ B) คือ {1} ⊂ A ∩ B คอื ดงั นนั้ n(S) = 25 − 1 = 31 1 ∈ A ∩ B ถกู (26.3) P(A − B) = P(∅) = {∅} ถูก (36) จากแผนภาพ U (26.4) ผดิ เพราะ B − A ≠ ∅ ก็เปน็ ไปได้ (27) สมาชกิ ทใี่ นส่วนทซ่ี อ้ นกนั ได้แก่ ∅, {∅}, {0} n(A ∩ B ') = n(A − B) 3ก2 ข 55ค ง ดังนน้ั ได้ (26 − 3) + (6 − 3) = 61 + 3 = 64 AB = 32 = ก (28.1) A = {2, 4, สับเซตของ{1,3,5} } จงึ มี n(B) = ข+ค = 55 23 = 8 แบบ ต้องการหา n(A '∩ B ') คอื n(A ∪ B)' = ง หาไดจ้ าก n(U) = 100 = ก+ข+ค+ง ดงั นนั้ ง = 100 − 32 − 55 = 13 (หมายเหตุ .. n(A ') = 40 ไมไ่ ด้ใช)้ (28.2) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, สบั เซต (37) นกั กฬี า 35 คน U ของ{2,4,6,8,10} } จงึ มี 25 = 32 แบบ → ก+ข = 35 กขค (29.1) X = {1, 2, 3, สบั เซตของ{4,5,6,7} } จงึ มี นกั ดนตรี 27 คน ง → ข+ค = 27 24 = 16 แบบ นักกฬี า นักดนตรี (29.2) X = { สบั เซตของ{1,2,3}ท่ไี มใ่ ช่ ∅ , สับ ไมเ่ ป็นเลย 32 คน → ง = 32 รวมกันสามสมการจะได้ ก+2ข+ค+ง = 94 เซตใดๆของ{4,5,6,7} } ...(23 − 1)(24) = 112 แบบ (30.1) n(C) = จาํ นวนแบบของ S = 26 = 64 แต่มีนักเรยี นรวม 80 คน (ก+ข+ค+ง) (30.2) n(C) = จาํ นวนแบบของ S ∴ ลบกันเหลือ ข = 14 คน = (24 − 1)(26) = 960 โจทยถ์ าม ก+ค+ง = 80 − 14 = 66 คน (31.1) {0} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} มี 24 = 16 แบบ (หมายเหตุ .. n(A '∪ B ') = n(A ∩ B) ' = ก+ค+ง) (31.2) {0} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} (38) เซตในขอ้ น้แี ยกจาก กนั เพราะเรยี นฝร่งั เศสแล้ว ก ขค ต้องไมเ่ รียนคณติ ศาสตร์ วธิ ที ง้ั หมด ลบขอ้ 31.1 → 25 − 24 = 16 แบบ (31.3) {0, 2} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} 20=ก+ข, 17=ก+ค, ฝรง่ั เศส คณิต U 15=ข+ค มี 23 = 8 แบบ รวมกนั จะได้ 2(ก+ข+ค)=20+17+15 → ก+ข+ค=26 (31.4) {0, 2} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} ดงั นน้ั ค = 26 − 20 = 6 วิธที งั้ หมด ลบขอ้ 31.3 → 25 − 23 = 24 แบบ (32) {3, 5, 8} ⊂ D ⊂ {2, 3, 4, ..., 8} มี 24 = 16 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 29 เซต (39) โจทยบ์ อกวา่ U (43) ก+ข=16 ....(1) ก+ข+ค+ง=20 กขค ฉ+ช=7 จะได้ ข+ค=21-7=14 ....(2) ง ก+ข=2(ข+ค)-7 สองสมการบวกกนั จะได้ ก ข ค ช2า4ย และ ข = ง ครีม นาํ้ ตาล ก+2ข+ค=16+14=30 หญิง จ ฉช 11 ดังนนั้ จากสมการแรกสดุ จะได้ ก+2ข+ค=20 .....(1) แต่ ก+ข+ค=24 ดังนนั้ บาส ฟุตบอล สมการทสี่ องจดั รปู ได้ ข-ก+2ค=7 .....(2) ข=30-24= 6 คน (1)x2 - (2); 3ก+3ข=33 ดังนน้ั ก+ข=11 (44) ก+ข=200 U ง ช6า0ย0 และ ข+ค=30 ก ขค (40) คนสวมแหวนทกุ คน รวม ก+2ข+ค=230 จ ฉช ซ สวมแวน่ แตค่ นท่สี วม แกหวนขแวน่ นาฬิกา แต่ ข=15 ตจว. นกั กฬี า 5ห0ญ0ิง นาฬกิ าไม่มคี นใดสวมแว่น คง ดงั นนั้ ก+ข+ค=215 จะวาดแผนภาพไดด้ ังนี้ U ∴ ง = 600 − 215 = 385 คน (แหวนเปน็ สับเซตของแวน่ , (ข้อสังเกต ขอ้ 43 และ 44 ไม่ได้คํานวณในส่วนท่ี นาฬกิ ากบั แวน่ แยกกนั ) เป็นผหู้ ญงิ เลย, ถ้าตอ้ งคดิ จะใช้วธิ เี หมอื นขอ้ 42) โจทย์บอกวา่ ก+ข+ค+ง=34 .....(1) ข=5 .....(2) (45) โจทยข์ อ้ นใ้ี ห้คดิ ค=ก+ข+1 .....(3) และ ก+ข+ง=3ก .....(4) ก ข ค ง คู่ เอาเองว่า จาํ นวนคีท่ ี่ จ ซ ค่ี แทนคา่ (2), (3) ในสมการ (1) และ (4) จะได้ 4 หารลงตวั นนั้ ไมม่ ี! 3ลงตวั 4ลงตัว (นั่นคอื ฉ,ช = 0 ) ก+5+(ก+5+1)+ง=34 และ ก+5+ง=3ก แก้ระบบสมการได้ ก=7, ง=9 โจทย์ถาม ค = ก+ข+1 = 7+5+1 = 13 คน ค ค = 6 , ก+ข+จ = 8 โดย ก+ข = 3 → จ = 5 .. ข = 2 , ก+ง = 4 และ จ+ซ = 18 − 4 = 14 .. (41) ฝนตกเชา้ จะไม่ตก จาํ นวนสมาชกิ ของเซตน้ี = (ก+ง)+ข+ค+(จ+ซ) เย็น แสดงวา่ เซตแยกกัน ก ข ก+ข=7, ข+ค=6, ก+ค=5 บวกกนั ทัง้ สามสมการได้ ตกเชา้ ตกเยน็ = 4 + 2 + 6 + 14 = 26 U 2(ก+ข+ค)=18 ..ดังนน้ั ก+ข+ค = 9 วนั จํานวนคู่ = (ก+ง)+ข+ค = 4 + 2 + 6 = 12 1ช0า0ย จํานวนท่ี 3 หรอื 4 หารไมล่ งตัว = ทกุ ตัวยกเวน้ ข (42) ข้อนีว้ าดรปู แบง่ U ง 6ห0ญงิ = 26 − 2 = 24 จาํ นวน ชายหญงิ ได้ดงั น้ี ก ขค ซ (46) ข้อนมี้ ี 3 เซต คอื ชอบช้าง, ชอบลงิ , ชอบหมี (หรือจะแบ่งเปน็ ชาย จ ฉช โจทย์ถาม n(A ∪ B ∪ C) ' = 100 − n(A ∪ B ∪ C) กบั หญงิ คนละรปู กนั กไ็ ด้ แตค่ ดิ ไมส่ ะดวก) ตาดี ฟันไม่ผุ โดยการสงั เกตใหด้ ี ใช้ ก ขคง จ ฉชซ ข้อมูลแค่ 3 ตวั คดิ วิธี U ลิง เดยี วกบั ขอั (36) ดังรปู 32 35 ก็จะทราบวา่ ช้าง ชาย หญิง n(A ∪ B ∪ C) = 20 หมี B 30 = ค+ง → ช+ซ = 50 − 30 = 20 32 + 35 + 20 = 87 ไทย เดิม 35 = ก+ง → จ+ซ = 60 − 35 = 25 ดังนนั้ ตอบ 13 A ไทย C ลูกทุง่ 55 = ข → ฉ = 80 − 55 = 25 (47) ข้อนตี้ รงตามสตู ร สากล ? z n(A ∪ B ∪ C)=180 x รวม 3 สมการเขา้ ดว้ ยกนั จะได้ y ก+ข+ค+2ง=120 และ จ+ฉ+ช+2ซ=70 =95+92+125-52-43-57+x แตเ่ นอื่ งจาก ก+ข+ค+ง=100 ดงั นั้น ง=20 และ ก+ข+ค=80 ∴ x = 20 คน และเนอ่ื งจาก จ+ฉ+ช+ซ=60 ดังนนั้ ซ=10 ∴ y = n(A ∩ C) − 20 =43-20=23 และ จ+ฉ+ช=50 คําตอบคอื 80 + 50 = 130 คน z = n(A ∩ B) − 20 =52-20=32 ผชู้ อบเพลงไทยสากลเพยี งอยา่ งเดยี ว มี 95 − 20 − 23 − 30 = 20 คน (หมายเหตุ ..จะวาดแผนภาพเปน็ เซตของคนทส่ี ายตา ไมด่ ี, หรอื เซตของคนท่ีฟนั ผุ กไ็ ด)้ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 30 เซต (48) สมการแรก ก x 20 ข (50) ให้ U = {0, 1, 2, ..., 100} x+y+20+23+22+11+9=100 A = { x | x หารดว้ ย 2 ลงตัว } y B = { x | x หารดว้ ย 3 ลงตัว } และสมการที่สอง 22 23 11 C = { x | x หารดว้ ย 5 ลงตัว } (x+20+23+22)=(y+20+23+11)+6 9 ค แกร้ ะบบสมการ ได้ x = 5, y = 10 ต้องการหาคา่ n(A '∩ B '∩ C ') กค็ ือ n(A ∪ B ∪ C) ' ..หาโดย n(U) − n(A ∪ B ∪ C) ∴ นาย ก ได้ 70 คะแนน, นาย ข 64 คะแนน, ซ่ึง n(A ∪ B ∪ C) จะตอ้ งคํานวณตามสูตร นาย ค 65 คะแนน ก. ถูก ข. 70 + 64 + 65 = 199 ถกู ค. ผดิ ตอ้ งเป็น 5 คน ง. 5 + 10 + 9 = 24 ถกู n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C)) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) (49) ขอ้ นี้มีสามเซต (บาสเกตบอล, เทนนสิ , วอลเลย์บอล) และยังแบง่ ชายหญงิ จึงจําเป็นตอ้ งแยก ** ทกุ ๆ ชน้ิ ส่วน อยา่ ลมื นับเลข 0 ด้วย ** ... n(A) → หาร 2 ลงตวั มี 51 จาํ นวน วาดคนละภาพกนั n(B) → หาร 3 ลงตัว มี 34 จาํ นวน n(C) → หาร 5 ลงตวั มี 21 จาํ นวน x y n(A ∩ B) → หาร 2 และ 3 ลงตวั คอื หาร 6 ลงตัว ชาย 8 4 มี 17 จาํ นวน ... n(A ∩ C) → หาร 2 และ 5 ลงตวั หญงิ คอื หาร 10 ลงตวั มี 11 จํานวน ... n(B ∩ C) → ถา้ สังเกตดๆี จะพบว่าขอ้ มลู ทใ่ี หม้ าตรงตามสตู รพอดี หาร 3 และ 5 ลงตวั คอื หาร 15 ลงตัว มี 7 จาํ นวน ชาย n(A ∪ B ∪ C) = 60 − 8 ... n(A ∩ B ∩ C) → หาร 2 และ 3 และ 5 ลงตวั =20+15+22-6-10-11+x ... ดงั นนั้ x=22 คน คือหาร 30 ลงตวั มี 4 จาํ นวน หญงิ (แตล่ ะเลขไดจ้ าก จํานวนทง้ั หมดลบดว้ ยผู้ชาย) ดงั นนั้ n(A ∪ B ∪ C) = 51 + 34 + 21 − 17 − 11 40-4 = 15+13+18-8-6-9+y ... ดังนนั้ y=13 คน −7 + 4 = 75 สรุปวา่ ตา่ งกนั อยู่ 22 − 13 = 9 คน และเนอ่ื งจาก n(U) = 101 จงึ ได้ n(A '∩ B '∩ C ') = 101 − 75 = 26 S ¨´u ·è¼Õ ´i º‹oÂ! S ¨Ò¡¢Œo (50) ËÒ¡o¨·Âe»ÅÂèÕ ¹ä»e»š¹ A ¤o× e«µ¢o§¨íҹǹ·èÕËÒà 6 ŧµaÇ æÅa B ¤o× e«µ¢o§¨Òí ¹Ç¹·ÕèËÒà 8 ŧµaÇ æÅŒÇ A ∩ B ¨ae»š¹e«µ¢o§¨íҹǹ溺㴤Ãaº.. ËÅÒ¤¹µoºÇҋ ËÒ÷§éa 6 æÅa 8 ŧµaÇ ¡çæ»ÅÇҋ ËÒà 48 ŧµaÇ ... äÁ㋠ª¹‹ a¤Ãaº! ... eoÒ 6 ¡aº 8 ÁÒ¤Ù³¡a¹¹é¹a ¼´i ! ¨aµoŒ §ãªŒ ¤.Ã.¹. ¤o× “ËÒà 24 ŧµaǔ ¨Ö§¨a¶Ù¡ Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 31 ระบบจํานวนจรงิ Rea+l º··èÕ 2 Ãaºº¨íҹǹ¨Ãi§ จาํ นวนทม่ี นษุ ย์คดิ ข้ึนใช้ครั้งแรกเป็นจํานวนทใ่ี ช้ นบั สง่ิ ของต่างๆ เรยี กวา่ จํานวนธรรมชาติ (Natural Number) หรอื จาํ นวนนับ (Counting Number) ไดแ้ ก่ 1,2,3,4,... ซงึ่ สญั ลกั ษณแ์ ทนเซตของจํานวนนับ คือ N = {1,2, 3, 4,...} หากนาํ จาํ นวนนบั เหลา่ นม้ี าบวกหรือคณู กัน ผลลัพธ์ย่อมเป็นจํานวนนับเสมอ เรยี กว่า “เซต ของจาํ นวนนับมี สมบตั ปิ ิด สําหรบั การบวกและการคณู ” (คาํ วา่ สมบัติปิด หมายความว่า เมื่อนํา สมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลท่ไี ดย้ งั คงเป็นสมาชิกของเซตน้นั อย่)ู แต่หากนาํ จาํ นวนนบั บางจาํ นวนมาลบหรือหารกันจะมีปัญหาขัดข้องเนือ่ งจากผลทีไ่ ด้ไม่เปน็ จาํ นวนนับ ด้วยเหตุนี้จาํ นวนลบ จาํ นวนศูนย์ รวมทัง้ จํานวน เศษส่วน (Fraction) จึงถกู คิดข้ึนมาใช้ จํานวนนับ จาํ นวนศูนย์ และจํานวนเต็มลบ เรียกรวมกันว่า จาํ นวนเตม็ (Integer) I = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} จํานวนเตม็ และเศษส่วนของจํานวนเตม็ เรียกรวมกันว่า จํานวนตรรกยะ (Rational Number) Q = { a/b | a, b ∈ I และ b ≠ 0 } ดังน้นั เซตจาํ นวนนับเปน็ สับเซตจาํ นวนเต็ม และเซตจํานวนเตม็ เป็นสบั เซตจํานวนตรรกยะ ขอ้ ควรทราบ 1. จํานวนตรรกยะท่เี ปน็ เศษส่วนของจาํ นวนเต็ม จะเขียนเป็นทศนยิ มซํ้าได้เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 32 ระบบจาํ นวนจริง และจํานวนท่เี ขียนเป็นทศนิยมไมซ่ ํา้ จะเรยี กว่า S e¾ièÁeµiÁ! S จาํ นวนอตรรกยะ (Irrational Number) Q' เชน่ 2 = 1.4142... , 3 = 1.7321... , π ≈ 3.1416... 1. ÃÒ¡·èÊÕ o§¢o§¨Òí ¹Ç¹eµÁç (·¶èÕ o´¤‹Òoo¡ÁÒe»š¹¨Òí ¹Ç¹ eµÁç äÁä‹ ´)Œ ¨ae»š¹¨Òí ¹Ç¹oµÃáÂaeÊÁo 2. N มีสมบัติปดิ สําหรบั การบวกและการคณู I และ Q มีสมบัติปดิ สําหรับการบวก, ลบ, และคณู 2. ¤‹Ò e «§èÖ e»¹š ¤Ò‹ ¤§·Õ·è èeÕ ¡èÂÕ Ç¡ºa Åo¡Ò÷i ÖÁ (º··èÕ 8) ..แต่ Q' ไมม่ สี มบัติปิดเลย ¡çe»š¹¨Òí ¹Ç¹oµÃáÂaeª¹‹ ¡¹a (Á¤Õ ‹Ò»ÃaÁÒ³ 2.718..) จาํ นวนทงั้ หมดที่กลา่ วมานี้ เรียกรวมกันว่า จาํ นวนจรงิ (Real Number : R ) ซ่ึงมีแผนผังความ C สมั พนั ธ์ดงั ทแ่ี สดงไว้ R Im เพ่ิมเตมิ จากเนื้อหาเรือ่ งจํานวนเชิงซอ้ น มีจาํ นวนอีกหน่งึ ประเภทที่ไม่ใชจ่ าํ นวนจรงิ เนือ่ งจากไม่ Q' Q สามารถจัดลาํ ดับค่ามากน้อยร่วมกับจํานวนจรงิ บนเส้นจาํ นวน ได้ คือรากทีส่ องของจํานวนลบ เช่น −2 เรยี กว่า จํานวน I Q−I จนิ ตภาพ (Imaginary Number) เมือ่ รวมกันกับเซตจาํ นวนจริงแล้วเรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน I- I0 I+ หรอื N (Complex Number : C ) ซงึ่ จะไดศ้ ึกษาในบทท่ี 11 2.1 สมบัติของจาํ นวนจรงิ นอกจากสมบัติปดิ ซง่ึ ได้ร้จู ักแล้ว ระบบจํานวนจรงิ ยงั มสี มบตั ิอีกหลายลกั ษณะทค่ี วรทราบ เนือ่ งจากเปน็ พื้นฐานทีจ่ าํ เปน็ สําหรับวิชาคณิตศาสตร์ (ส่วนใหญจ่ ะเคยพบมาแล้วในระดบั ม.ตน้ ) สมบตั ิของการเทา่ กนั [1] สมบัติการสะทอ้ น (Reflexive Property) a=a [2] สมบตั ิการสมมาตร (Symmetric Property) a=b ↔ b=a [3] สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) a=b ∧b=c → a=c [4] สมบัตกิ ารบวกและคูณดว้ ยจํานวนทเี่ ท่ากัน a = b → a+c = b+c a = b → ac = bc สมบัติเก่ยี วกบั การบวกและการคณู [1] “เอกลกั ษณ์ (Identity)” คอื จาํ นวนท่ีไปดาํ เนินการกบั จํานวนจริง a ใดกต็ ามแลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ จาํ นวน a เดิม ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง คือ 0 และเอกลกั ษณก์ ารคูณใน ระบบจํานวนจรงิ คอื 1 [2] “อนิ เวอร์ส (Inverse) ของ a” คือจาํ นวนท่ไี ปดาํ เนนิ การกับจํานวนจรงิ a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น เอกลักษณ์ ... ดังน้นั เอกลกั ษณ์การบวกของจาํ นวนจรงิ a คือ –a และเอกลักษณก์ ารคูณของจํานวน จริง a คือ 1/a หรอื เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ a−1 a, b ∈ R → a + b ∈ R [3] สมบตั ิปิด (Closure Property) a, b ∈ R → a ⋅ b ∈ R [4] สมบตั กิ ารสลบั ท่ี (Commutative Property) a+b = b+a ab = ba Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 33 ระบบจํานวนจริง [5] สมบตั กิ ารเปล่ียนกลมุ่ (Associative Property) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (b c) = (a b) c = a b c [6] สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c [7] สมบตั ิสาํ หรับเซตของจํานวนจริงบวก ( R+ ) เพิม่ เติมไดแ้ ก่ สมบตั ิปดิ ของการบวก สมบตั ปิ ิดของ การคณู และสมบตั ทิ ีว่ ่า “ถ้าจาํ นวนจริง a ≠ 0 แลว้ a ∈ R+ หรือ −a ∈ R+ เสมอ” ทฤษฎบี ทเพิม่ เติมท่คี วรทราบ a+c = b+c → a = b (พิสูจนไ์ ด้จากสมบัตทิ ่ีกลา่ วแล้วข้างตน้ ) [1] กฎการตัดออกสาํ หรบั การบวกและการคณู a ⋅ c = b ⋅ c → a = b เม่อื c ≠ 0 [2] การคูณดว้ ยศนู ย์ และจํานวนลบ 0a = a0 = 0 (−1)a = −a * [3] ผลคณู เท่ากบั ศนู ย์ (−a) b = a (−b) = −a b [4] บทนิยามของการลบและการหาร (−a)(−b) = a b − (−a) = a [5] การแจกแจงสําหรบั การลบ [6] อนิ เวอร์สการคูณไม่เป็นศูนยเ์ สมอ a b = 0 → a = 0 หรือ b = 0 [7] การคณู ทงั้ เศษและสว่ น [8] การบวกและการคูณเศษส่วน a − b = a + (−b) [9] อินเวอร์สการคูณของเศษส่วน a ÷ b = a b −1 เมอื่ b ≠ 0 (ไม่นยิ าม )0−1 [10] เศษส่วนซ้อน a (b − c) = a b − a c a −1 ≠ 0 เมื่อ a ≠ 0 a = ac b bc a + d = ac + bd a ⋅ d = ad bc bc b c bc ⎜⎝⎛ a ⎞⎟⎠−1 = b b a ab = a a = ac a b = ad c bc bc b c d bc หมายเหตุ 1. ข้อ [7] ถงึ [10] ตัวสว่ นต้องไม่เทา่ กบั ศนู ย์ 2. อาจนิยามการหารด้วยการคูณ คือ a ÷ b = c ↔ a = b c ก็ได้ แต่ตอ้ งกํากับวา่ เป็นจริงเมอื่ b ≠ 0 เทา่ นั้น (การหารด้วย 0 ในท่ีนี้จะไม่นยิ าม) • ตัวอยาง เซตตอ ไปนีม้ ีลกั ษณะตรงตามขอใด (ใน A, B, C, D) บาง A. มีสมบตั ปิ ด การบวก B. มีสมบัติปด การคูณ C. เปนสับเซตของเซตจาํ นวนตรรกยะ Q D. เปน สบั เซตของเซตจาํ นวนเตม็ I ก. เซตของจาํ นวนนับ N ตอบ A ถกู เพราะไมว าจะยกจาํ นวนนับจํานวนใดมาบวกกนั ผลลพั ธก ็ยังคงเปน จํานวนนบั B ถกู เพราะไมว าจะยกจํานวนนับจาํ นวนใดมาคณู กัน ผลลพั ธกย็ งั คงเปน จํานวนนบั C ถูก เพราะจาํ นวนนบั ทุกจํานวนเปนจาํ นวนตรรกยะ D ถูก เพราะจาํ นวนนับทกุ จาํ นวนเปนจํานวนเตม็ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 34 ระบบจาํ นวนจรงิ ข. เซตของจํานวนอตรรกยะ ตอบ A ผิด เพราะมีจาํ นวนอตรรกยะบางจํานวน ที่บวกกนั แลว กลายเปน จํานวนตรรกยะ เชน 2 บวก กบั − 2 แลว ได 0 B ผิด เพราะมีจาํ นวนอตรรกยะบางจํานวน ทีค่ ณู กันแลว กลายเปนจาํ นวนตรรกยะ เชน 2 ⋅ 2 = 2 C ผดิ อยา งแนน อน เพราะเซตของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เปนคอมพลีเมนตกัน D ผิดเชนกนั เพราะไมใชวา จาํ นวนอตรรกยะทุกจาํ นวนเปน จาํ นวนเตม็ (ที่จริงไมม ีเลยสกั ตวั ) ค. { x | x < 0 } ตอบ A ถกู จํานวนลบหรือจาํ นวนศนู ย เมื่อนาํ มาบวกกนั ยอ มยงั เปนจาํ นวนลบหรือศนู ย B ผดิ เพราะจํานวนลบคณู กนั ยอ มไดผ ลลพั ธเปน จาํ นวนบวก C และ D ผดิ เพราะจาํ นวนลบบางจํานวนไมใ ชจ าํ นวนตรรกยะ (และจาํ นวนเตม็ ) เชน − 2 ง. {1.414, 22/7} ตอบ A และ B ผดิ เพราะเมื่อหยบิ จํานวนจากเซตนีม้ าบวก (หรือคูณ) กนั ผลลพั ธไมอ ยใู นเซตนี้ C ถกู เพราะเลขทศนิยม และเศษสวนของจํานวนเตม็ เปน จาํ นวนตรรกยะเสมอ (22/7 ≠ π ) D ผิดแนนอน เพราะสมาชิกในเซตนีไ้ มใชจ าํ นวนเตม็ จ. {−1, 0, 1} ตอบ A ผิด เพราะเมื่อหยิบบางจาํ นวนมาบวกกนั ผลลพั ธท ี่ไดไมอยูใ นเซตนี้ เชน 1 + 1 = 2 B ถกู เพราะไมว า จะหยิบจํานวนใดมาคณู กนั ผลลัพธท ีไ่ ดก ็ยังอยูใ นเซตนี้เสมอ C และ D ถกู เพราะสมาชิกทุกตัวเปน จาํ นวนเตม็ (จํานวนเตม็ ทกุ จาํ นวนเปน จํานวนตรรกยะ) ฉ. { 10 x | x ∈ I } ตอบ { 10 x | x ∈ I } = {0, ±10, ±20, ±30, ...} เขียนแจกแจงสมาชกิ เพือ่ ใหพจิ ารณางาย A และ B ถกู เพราะไมว า จะหยบิ จาํ นวนใดในเซตนี้มาบวก (หรือคณู ) กนั ผลลัพธที่ไดย งั อยูในเซตนี้ C และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตวั เปนจาํ นวนเตม็ (จาํ นวนเต็มทกุ จํานวนเปนจาํ นวนตรรกยะ) แบบฝึกหดั 2.1 (1) ข้อความตอ่ ไปนถี้ กู หรอื ผิด S ¨´u ·è¼Õ i´º‹oÂ! S (1.1) 0.343443444... เปน็ จํานวนตรรกยะ (1.2) 0.112112112... เป็นจํานวนอตรรกยะ o¨·Â㏠¹Ãٻ溺¢oŒ ¤ÇÒÁ¶Ù¡ËÃ×o¼i´¹é¹a ÊNj ¹ÁÒ¡ (1.3) ถ้า a2 เปน็ จาํ นวนคู่ แลว้ a ตอ้ งเปน็ จาํ นวนคู่ ¶ŒÒo‹Ò¹¢Œo¤ÇÒÁe¾Õ§e¼¹i æ ¨a´ÙeËÁo× ¹Ç‹Ò¶¡Ù æµ·‹ èÕ (1.4) ถา้ a2 เป็นจํานวนคี่ แลว้ a ตอ้ งเปน็ จํานวนคี่ ¨Ã§i ºÒ§¢oŒ ¤ÇÒÁ¡¼ç i´.. (2) ถ้า a, b, c ∈ R แลว้ ข้อความในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนถี้ กู หรือผิด ¡Òõoºo¨·Âŏ ¡a ɳa¹¤éÕ ÇþÂÒÂÒÁ¡¡Ã³Õ·èÕ (2.1) ถา้ a b = a แลว้ b = 1 ¼i´¢¹éÖ ÁÒÊ¡a 1 ¡Ã³Õ ¶ÒŒ ËÒ䴌¡æç Ê´§Çҋ ¢Œo¤ÇÒÁ ¹é¹a ¼i´ (¡ÒáµÇa oÂҋ §¨Òí ¹Ç¹ o‹ÒÅ×Á·´Êoº (2.2) ถา้ a b = 0 แลว้ a = 0 และ b = 0 ¨íҹǹµ´i ź ¨Òí ¹Ç¹µi´ÃŒ·Ù æÅa¨Òí ¹Ç¹·È¹iÂÁ·èÕ äÁ¶‹ Ö§ 1 ´ŒÇÂ) ... 浶‹ ŒÒËÒÂa§ä§¡çËÒäÁä‹ ´Œ ¢oŒ ¤ÇÒÁ (2.3) เมือ่ b ≠ 0 ถา้ a = c แล้ว a = c ¹a¹é ¡çÁoÕ o¡Òʨa¶Ù¡ÊÙ§ (¶ŒÒ¨aºo¡Çҋ ¶¡Ù ªaÇÃæ ¤§ bb µoŒ §ãªÇŒ ¸i ¾Õ Êi Ù¨¹ «§èÖ ºÒ§¢Œo¡çÂÒ¡¹a¤Ãaº..) (2.4) เม่ือ b, c ≠ 0 ถา้ a = a แล้ว b = c bc Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 35 ระบบจํานวนจรงิ (3) เซตในขอ้ ใดมีสมบตั ิปดิ ของการบวก และการคูณ ก. เซตของจํานวนเต็มลบทัง้ หมด ข. เซตของจาํ นวนเฉพาะบวกที่ไมใ่ ช่ 2 ค. เซตของจาํ นวนตรรกยะท่ไี มใ่ ช่จํานวนเตม็ ง. เซตของจํานวนเตม็ ท่ีหารด้วย 4 ลงตวั (4) ขอ้ ความต่อไปน้ถี กู หรอื ผดิ (4.1) เซตของจํานวนจรงิ มีสมบตั ปิ ิดของการลบ (4.2) เซตของจํานวนจรงิ มสี มบตั กิ ารเปลยี่ นกลุ่มของการลบ (4.3) เซตของจํานวนจริงท่ีไม่ใช่ 0 มสี มบตั ิปิดของการหาร (4.4) เซตของจํานวนจรงิ ที่ไม่ใช่ 0 มสี มบัตกิ ารเปลีย่ นกลุ่มของการหาร (5) เมอ่ื กําหนดเซต A = { x ∈ N | x ∈ Q } และ B = N − A แลว้ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ถี กู หรอื ผดิ (5.1) A มีสมบัติปิดการคณู แต่ B ไม่มีสมบัติปิดการคณู (5.2) A ไมม่ สี มบตั ิปิดการบวก และ B ไมม่ ีสมบัติปิดการบวก (6) เซต A ในข้อใดทาํ ใหข้ ้อความตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จริง “ถา้ x ∈ A แล้ว จะมี y ∈ A ซึ่ง x y = 1 และ x y ∈ A ” ก. เซตของจาํ นวนเต็มทีไ่ ม่ใช่ 0 ข. เซตของจาํ นวนจรงิ ค. เซตของจาํ นวนอตรรกยะ ง. เซตของจํานวนตรรกยะท่ไี ม่ใช่ 0 (7) ใหห้ าอินเวอร์สการคูณของ 1 และ *abc 6+ 5 aabc bbca เอกลกั ษณ์การคณู ของ 6 + 5 ccab (8) กาํ หนดตารางการดาํ เนนิ ทวิภาคดังขวามือ ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง ก. (a ∗ b) ∗ a = c ข. (b ∗ c) ∗ b = a ค. (a ∗ b) ∗(c ∗ b) = b ง. (c ∗ a) ∗(b ∗ a) = b (9) การดาํ เนินการ ∗ สาํ หรับจาํ นวนจรงิ ในขอ้ ใดไม่มสี มบัตกิ ารสลับท่ี ก. x ∗ y = 3 x y + (x + y) ข. x ∗ y = 2(x + y) − 3 x y ค. x ∗ y = 3 − 1 ง. x ∗ y = 2 x y + 1 xy x+y x−y (10) [Ent’24] กาํ หนด a ∗ b = 3ab + (a + b) แลว้ x ∗(y ∗ z) = (z ∗ y)∗ x หรือไม่ (11) ถา้ A เป็นเซตของจาํ นวนนับคี่ และกําหนดตวั ดาํ เนนิ การ ⊕ กบั ⊗ บนเซต A ดงั นี้ a ⊕ b = a + b และ a ⊗ b = a b แล้วข้อใดต่อไปน้ีถูกหรอื ผดิ บ้าง 22 (11.1) เซต A มสี มบัติปิด และมีสมบตั ิการสลับท่ี ภายใต้การดําเนินการ ⊕ (11.2) เซต A ไมม่ สี มบัตปิ ดิ แต่มีสมบตั กิ ารสลบั ท่ี ภายใตก้ ารดําเนินการ ⊗ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 36 ระบบจํานวนจรงิ 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลอื และตัวประกอบ พหนุ ามตวั แปรเดียว ทีม่ ี x เป็นตัวแปร จะอยู่ในรูป anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 โดยท่ี a เปน็ ค่าคงท่ี (สัมประสทิ ธ์)ิ และ n เปน็ จาํ นวนนบั นิยมใช้สญั ลกั ษณ์แทนพหนุ ามวา่ p(x) นอกจากนั้น สัญลักษณ์ p(c) หมายถึงการแทนคา่ x ด้วยจํานวน c เชน่ p (x) = 4x3 − x2 − 2x + 6 จะไดว้ า่ p (−1) = 4 (−1)3 − (−1)2 − 2(−1) + 6 = 3 การแก้สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 = 0 จะต้องแยกตวั ประกอบใหส้ มการอยู่ในรปู ผลคูณเทา่ กับศนู ย์ โดยมเี ทคนคิ ตา่ งๆ ที่ศึกษาผา่ นมา ไดแ้ ก่ กาํ ลังสอง สมบูรณ์ ผลต่างของกําลงั สอง ผลบวกและผลต่างของกาํ ลังสาม เป็นต้น แตส่ ําหรบั สมการท่ีมดี กี รี มากกวา่ สอง ทฤษฎบี ทต่อไปนจี้ ะช่วยให้การแยกตัวประกอบสะดวกขน้ึ ทฤษฎบี ทเศษเหลือ (Remainder Theorem) กล่าวว่า “ถา้ หาร p(x) ด้วย x – c แล้ว จะเหลอื เศษเท่ากบั p(c)” และหากการหารนเี้ หลอื เศษ 0 พอดี (หารลงตวั ) จะกล่าววา่ x – c เป็นตวั ประกอบของ p(x) นน่ั คือ “พหนุ าม p(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบหน่ึง กต็ อ่ เมอ่ื p(c) = 0” เรยี กทฤษฎนี ้ีวา่ ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานําทฤษฎบี ทท้ังสองมาชว่ ยในการแยกตวั ประกอบของ p(x) ได้ โดยการสุ่มหาค่า c ท่ีทาํ ให้ p(c) = 0 พอดี เพอ่ื ให้ได้ตัวประกอบ x – c ... แล้วนาํ x – c ทไี่ ด้ไปหารออกจาก p(x) เพื่อ ลดทอนกําลัง n ลง ทาํ ซ้าํ จนแยกตวั ประกอบได้ครบ ยังมอี ีกทฤษฎที ี่ทําให้เลอื กคา่ c ได้รวดเรว็ น่ันคือ ทฤษฎีบทตวั ประกอบจํานวนตรรกยะ ซง่ึ กลา่ วว่า “ถ้า x – (k/m) เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว.. k เปน็ ตัวประกอบของ a0 และ m เปน็ ตัวประกอบของ an ” (โดยเศษสว่ น k/m เป็นเศษส่วนอย่างตํ่าเทา่ นน้ั ) สรปุ วิธกี ารหาตัวประกอบ x – c ของ p(x) เมื่อ c เป็นจํานวนตรรกยะ คอื นาํ ค่า k มาจาก ตัวประกอบของ a0 และนาํ ค่า m มาจากตวั ประกอบของ an ... ค่า c ท่ีเปน็ ไปไดจ้ ะอย่ใู นบรรดา เศษส่วน k/m เหลา่ นีเ้ ท่านน้ั (อยา่ ลมื คดิ ทั้งจํานวนบวกและจํานวนลบ) ดตู ัวอย่างวธิ คี าํ นวณไดใ้ น เรอ่ื งการหารสังเคราะห์ หมายเหตุ หากจํานวน c ไมใ่ ชจ่ าํ นวนตรรกยะ เชน่ x2− 2 = (x − 2)(x + 2) จะใชท้ ฤษฎีน้ีไม่ได้ • ตวั อยา ง 2x3− x2+ 6x − 1 หารดว ย x − 2 เหลือเศษเทา ใด ตอบ ใชท ฤษฎีเศษ จะไดว าเศษจากการหาร 2x3− x2+ 6x − 1 ดว ย x − 2 กค็ ือ 2(2)3−(2)2− 6(2) + 1 = −7 ... (สามารถตรวจคาํ ตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห) • ตัวอยา ง 2x3− x2+ 6x − 1 หารดวย x + 1 เหลือเศษเทา ใด ตอบ ใชท ฤษฎีเศษ จะไดวา เศษจากการหาร 2x3− x2+ 6x − 1 ดว ย x + 1 กค็ ือ 2(−1)3−(−1)2− 6(−1) + 1 = 4 ... (สามารถตรวจคาํ ตอบไดโดยการตง้ั หารยาว หรือหารสังเคราะห) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 37 ระบบจํานวนจริง • ตัวอยา ง ฟง กช นั พหุนามดีกรีสอง p(x) ฟงกชันหนงึ่ พบวา เมือ่ หารดว ย x แลว เหลือเศษ 3 , เมือ่ หารดว ย x − 1 เหลือเศษ 12 , และเมื่อหารดวย x − 2 จะเหลือเศษ 25 ก. ฟง กช นั p(x) นีห้ ารดวย x − 3 เหลือเศษเทา ใด วิธีคิด การจะทราบคําตอบขอ นี้ จะตองหาใหไดกอนวา p(x) คืออะไร โดยทัว่ ไปพหุนามดีกรีสอง ตองมีลักษณะเปน Ax2+ Bx + C ซงึ่ จะเหน็ วา มีสมั ประสทิ ธิ์ 3 ตวั เราจงึ ใชค ําใบทีโ่ จทยใ หมา 3 อยาง ในการสรางระบบสมการเพือ่ หาสัมประสทิ ธิ์ 3 ตวั นี้ “หารดวย x แลว เหลือเศษ 3 ” แปลวา p(0) = 3 หรือ A(0)2+ B(0) + C = 3 “หารดว ย x − 1 แลว เหลือเศษ 12 ” แปลวา p (1) = 12 หรือ A(1)2 + B(1) + C = 12 “หารดว ย x − 2 แลว เหลือเศษ 25 ” แปลวา p (2) = 25 หรือ A(2)2+ B(2) + C = 25 แกส ามสมการรว มกัน ไดผ ลเปน A = 2 , B = 7 , C = 3 ... ดงั นนั้ p(x) = 2x2+ 7x + 3 ดงั น้ัน p (x) นี้หารดวย x − 3 จะเหลือเศษ 2(3)2 + 7(3) + 3 = 42 ข. ฟง กชนั p(x) นี้หารดวย x − c ลงตวั เมือ่ c เทากบั เทาใด ตอบ p(x) หารดว ย x − c ลงตวั ... แปลวา มี x − c เปน ตัวประกอบหนึ่งน่ันเอง และเนื่องจาก p (x) = 2x2+ 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) จึงไดค าํ ตอบวา p(x) นีจ้ ะหารดว ย x − c ลงตวั เมื่อ c = −1/2 หรือ c = −3 หรืออาจกลาววา p(c) = 0 (หารลงตัวคือไมมีเศษ) ดังนั้น 2c2 + 7c + 3 = (2c + 1)(c + 3) = 0 จะได c = −1/2 หรือ c = −3 เชนเดียวกนั ค. ฟงกช นั p(x) นีห้ ารดว ย x − c เหลือเศษ 7 เมื่อ c เทา กบั เทา ใด ตอบ p(x) หารดวย x − c เหลือเศษ 7 ... แปลวา p(c) = 7 ดังนัน้ 2c2 + 7c + 3 = 7 แกส มการได 2c2 + 7c − 4 = (2c − 1)(c + 4) = 0 จึงไดคาํ ตอบวา c = 1/2 หรือ c = −4 หรืออาจกลาววา “ p(x) หารดว ย x − c เหลือเศษ 7 ” คือ “p(x) − 7 หารดว ย x − c ลงตวั ” (ยกตวั อยา งเชน 38 หารดวย 5 เหลือเศษ 3 แสดงวา 38 − 3 ยอ มหารดว ย 5 ลงตวั ) ดังนั้น p (x) − 7 = 2x2 + 7x − 4 = (2x − 1)(x + 4) ได c = 1/2 หรือ c = −4 เชน กนั เทคนิคการหารพหนุ าม ด้วยวิธหี ารสงั เคราะห์ (Synthetic Division) วิธหี าผลหารของพหนุ าม ท่ีเคยได้ศกึ ษาผา่ นมาแล้วคอื การตัง้ หารยาว สามารถใชห้ ารพหุ นามไดท้ กุ กรณี (หารด้วยดีกรีเท่าใดก็ได้) ... แต่ในกรณี “การหารพหนุ ามด้วย x – c (ดีกรีหนงึ่ )” เราสามารถทาํ ได้รวดเรว็ ย่งิ ขนึ้ โดยการหารสังเคราะห์ ในทีน่ ส้ี มมตวิ ่า จะหาผลของการหาร x4 − 3x3+ 4x2+ x − 6 ดว้ ย x − 2 1. เขยี นสัมประสทิ ธิ์ของพหนุ ามท่เี ป็นตัวตั้ง (ในทีน่ ค้ี อื 1, −3, 4, 1, −6 ) เรียงกันในบรรทดั โดยใส่ค่า c จากตวั หาร (ในท่ีนีค้ อื 2) ลงในชอ่ งด้านหนา้ สดุ และเว้นบรรทดั ไว้ในลกั ษณะดงั น้ี 2 1 −3 4 1 −6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 38 ระบบจาํ นวนจริง 2. เริ่มข้ันตอนการหารโดยนาํ ตวั เลขในหลกั แรกสดุ (ในทน่ี ้ีคือ 1) ลงมาเขยี นดา้ นลา่ งตรงบรรทดั ของ ผลลพั ธ์ ... จากนั้นใช้ตวั หาร (คอื 2) คณู ผลลัพธน์ ี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไป 2 1 −3 4 1 −6 2↓/ 2 1 3. พจิ ารณาที่หลักถัดไป ใหบ้ วกเลขเข้าด้วยกัน ( −3 + 2 = −1) นําไปใสไ่ ว้บรรทัดลา่ ง แลว้ ใชต้ วั หาร (คอื 2) คูณผลลพั ธน์ ้ี ไปใส่ไว้ใตห้ ลักถดั ไปอกี ... ทําซํ้าเรอ่ื ยๆ จนครบทุกหลกั 2 1 −3 4 1 −6 + 2 −2 4 10 1 −1 2 5 4 4. ในบรรทดั ผลลพั ธท์ ่ไี ด้ ตัวเลขในหลกั สุดท้ายคือ เศษ และตัวเลขที่เหลอื ด้านหน้าคอื สมั ประสิทธ์ิ ของผลหาร (ดีกรลี ดลงไปหนึ่งเสมอ) ... ในท่ีนผี้ ลหารกค็ ือ x3− x2+ 2x + 5 เศษ 4 • ตัวอยาง ใหห าเศษจากการหาร 2x3− 7x + 6 ดวย x + 1 วิธีคดิ หากไมต อ งการใชทฤษฎีเศษ −1 2 0 −7 6 ก็สามารถใชว ธิ ีตั้งหารสังเคราะห ไดผลดังนี้ −2 2 5 แสดงวา ผลหารเปน 2x2− 2x − 5 และเหลือเศษ 11 2 −2 −5 11 หมายเหตุ พจนใ ดหายไป เมือ่ ตง้ั หารสังเคราะหตองใส สัมประสิทธเิ์ ปน 0 ดวย (เชนในโจทยข อ นี้ไมม ีพจน )x2 มิฉะน้ันผลหารทีไ่ ดจะไมถ ูกตอง • ตัวอยาง ใหแยกตวั ประกอบพหนุ าม 3x3− 7x2+ 4 วิธีคดิ เนือ่ งจากตวั ประกอบของ 4 (สมั ประสทิ ธต์ิ ัวสุดทา ย) ไดแก ±1, ±2, ±4 และตัวประกอบของ 3 (สมั ประสทิ ธ์ติ วั แรกสุด) ไดแ ก ±1, ±3 จากทฤษฎีตัวประกอบจํานวนตรรกยะ จะไดวาจํานวนทีน่ า จะเปน คาํ ตอบ ไดแ ก ...±1, ± 2, ± 4, ± 1/3, ± 2/3, ± 4/3 1 3 −7 0 4 จากน้ันทดลองนาํ จํานวนเหลา นีม้ าหารสังเคราะหทีละจาํ นวน 3 −4 −4 หากพบวาตัวใดทาํ ใหเ ศษเปน 0 ตัวน้นั ก็จะเปนคาํ ตอบ ... ซ่ึงจากการหารสงั เคราะหใ นตัวอยา งดา นขวานี้ ทาํ ใหทราบวา 2 3 −4 −4 0 64 3x3 − 7x2 + 4 = (x − 1)(x − 2)(3x + 2) 32 0 หมายเหตุ ลําดบั ของตัวหารไมจ าํ เปน ตองเหมือนกบั ในตัวอยา ง (เชนอาจจะใช 2 กอนกไ็ ด) แบบฝกึ หดั 2.2 (12) ถา้ หาร 4x3 − 21x2 + 26x − 17 ดว้ ย x − 4 แล้วเหลือเศษ a และหาร 3x3+ 13x2+ 11x + 5 ด้วย x + 3 แล้วเหลอื เศษ b แลว้ ให้หาคา่ ของ b – a (13) ถ้า x − 1 หาร x2+ 2a และ x + 2 หาร x+ a แลว้ เหลือเศษเทา่ กนั ค่า a เปน็ เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 39 ระบบจํานวนจรงิ (14) ถา้ หาร x4 − x3 + 3x2 − x − 1 และ 2x3 + x2 + 75x + a ดว้ ย x − 5 แลว้ เหลอื เศษเท่ากนั คา่ a เป็นเทา่ ใด (15) ถ้า x − 2 เปน็ ตัวประกอบรว่ มของ x3 − ax2 + a x + 2b กบั 1 x2 + x − b แล้ว 4a คา่ a + b เป็นเทา่ ใด (16) ถ้า x2 − 2x − 3 เป็นตวั ประกอบของ x4 + ax3 + bx2 + 3x + 4 และ x2 + x − 2 เป็นตวั ประกอบของ x3 + 10x2 + cx + d แล้ว a + b + c + d มคี า่ เทา่ ใด (17) ให้หา ห.ร.ม. ของพหนุ าม ,x3 − 7x + 6 3x3 − 7x2 + 4 และ x4 − 3x3 + 6x − 4 (18) ให้หา ค.ร.น. ของพหนุ าม x3 − 2x2 − 5x + 6 และ x3 + x2 − 10x + 8 (19) แยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้ S ¨´u ·è¼Õ i´º‹oÂ! S ¶ÒŒ ËÒÃʧa e¤ÃÒaË´ ŒÇÂeÅ¢eÈÉʋǹ eª¹‹ 2/3 æŌǾºÇ‹Ò㪌䴌 (eÈÉ 3x6 − 2x5 − 64x4 + 96x3 − 27x2 + 98x + 40 e»š¹Èٹ) æÊ´§Ç‹Ò µaÇ»Ãa¡oº·äèÕ ´¤Œ ×o x-2/3 ¹a¤Ãaº ... o‹Òe¾i§è e¢Õ¹ 3x-2 ¨¹¡Çҋ ¨a´§Ö 3 ¨Ò¡Ç§eźç o×¹è ÁÒ¤³Ù ¡‹o¹ ¹a¤Ãºa ! (20) ใหห้ าเซตคาํ ตอบของสมการ x2 + a2b2 + 2abx − b2 = 0 (20.1) เมื่อ a เปน็ เอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจรงิ (20.2) เมื่อ b เปน็ เอกลกั ษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง (20.3) เม่ือ a เปน็ เอกลักษณ์การคูณในระบบจาํ นวนจรงิ (20.4) เมอ่ื b เปน็ เอกลักษณ์การคูณในระบบจาํ นวนจริง 2.3 อสมการ สมบัติของการไม่เท่ากัน a < b ↔ b − a ∈ R+ [1] บทนิยามของการมากกว่าและน้อยกว่า a > b ↔ a − b ∈ R+ [2] สมบตั ิการถ่ายทอด (Transitive Property) a>b ∧b>c → a>c [3] สมบตั ิการบวกและคณู ดว้ ยจาํ นวนที่เทา่ กัน a > b → a+c > b+c a > b → ac > bc , c>0 a > b → ac < bc , c<0 [4] กฎการตดั ออกสาํ หรบั การบวกและการคณู a+c > b+c → a > b ac > bc → a > b , c>0 ac > bc → a < b , c<0 [5] สมบตั ไิ ตรวิภาค (Trichotomy Property) ถ้า a, b ∈ R แล้ว a = b หรือ a < b หรือ a > b อย่างใดอย่างหน่งึ [6] บทนิยามของการไมม่ ากกวา่ และไมน่ อ้ ยกว่า a < b ↔ a ไม่มากกวา่ b (นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากบั ) a > b ↔ a ไม่น้อยกวา่ b (มากกว่าหรอื เทา่ กบั ) [7] การเปรียบเทยี บสองด้าน a < b < c ↔ a < b และ b < c a < b < c ↔ a < b และ b < c a < b < c ↔ a < b และ b < c a < b < c ↔ a < b และ b < c Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสขุ )

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 40 ระบบจาํ นวนจรงิ ช่วง และการแก้อสมการ ab ช่วง (Interval) คอื เซตทีบ่ อกสมาชิกดว้ ยขอบเขต นิยมแสดงเป็นกราฟบน เส้นจาํ นวน (Number Line) ช่วงเปดิ (a, b) หมายถงึ { x | a < x < b } ช่วงปดิ [a, b] หมายถงึ { x | a < x < b } ช่วงคร่ึงเปดิ (a, b] หมายถึง { x | a < x < b } และชว่ งครงึ่ เปิด [a, b) หมายถึง { x | a < x < b } ช่วง (a, ∞) หมายถึง { x | x > a } ชว่ ง [a, ∞) หมายถงึ { x | x > a } ช่วง (−∞, a) หมายถงึ { x | x < a } ชว่ ง (−∞, a] หมายถงึ { x | x < a } และช่วง (−∞, ∞) หมายถงึ เซตของจํานวนจริง R * สองกรอบนีใ้ ช้ประกอบโจทยแ์ บบฝกึ หดั ข้อ 23 ถงึ 25 ขอบเขตของ x2 เมือ่ กําหนด a < x < b - ถา a > 0 และ b > 0 จะไดข อบเขตเปน (a2, b2) - ถา a < 0 และ b < 0 จะไดขอบเขตเปน (b2, a2) - ถา a < 0 ขณะที่ b > 0 ขอบเขตที่ไดจะมีคา ตาํ่ สดุ เปน 0 และเปน ชว งครึ่งปด (เปน 0 ได) คา สูงสุดใหเลือกระหวา ง a2 กับ b2 วาตัวใดมากกวากนั เชน ถา x ∈ (−4, 3) จะเหน็ วา x มีคา ต้ังแตต ดิ ลบจนถงึ บวก แสดงวาผา นคานอ ยๆ เชน −1, 0, 1 ฯลฯ ดวย ...เมื่อนาํ ไปยกกาํ ลังสอง คาต่าํ สุดจงึ ตองเปน 0 สวนคา สงู สุดเลือกระหวา ง 9, 16 ... สรปุ วา x2 อยใู นชว ง [0, 16) หมายเหตุ : ขอบเขตของ x ก็คดิ ในลกั ษณะเดียวกันกับ x2 หลกั ในการคํานวณ (บวกลบคูณหาร) ระหวา ง 2 ชว ง คือ a < x < b และ c < y < d สมมตติ องการผลคูณ xy ใหหาผลคณู ac, ad, bc, bd ใหครบ แลวพิจารณาวา ในผลคณู ทง้ั สีท่ ีไ่ ด ตวั ใดมีคา ตํ่าสุดและตัวใดสูงสุด ... คา xy จะอยใู นชว งนน้ั เชน ถา x ∈ (−1, 3) และ y ∈ (−5, 4) ถามวา xy อยูในชว งใด เนื่องจากผลคณู ท้งั สี่คือ 5, −4, −15, 12 ... ดังนนั้ xy อยใู นชวง (−15, 12) กับการบวก ลบ และหาร ก็ทาํ เชนเดียวกัน เชนในตัวอยางเดมิ นี้ ผลหารทัง้ สี่เปน 1/5, −1/4, −3/5, 3/4 ... ดังนน้ั x / y อยใู นชว ง (−3/5, 3/4) ขอสงั เกต คา x + y จะมีขอบเขตเปน (a+c, b+d) เสมอ (ตัวนอยสดุ ยอมเกิดจากนอ ยบวกนอย และตวั มากสดุ ยอมเกดิ จากมากบวกมาก) และคา x − y จะมีขอบเขตเปน (a−d, b−c) เสมอ เนือ่ งจากการนําลบคูณ y จะกลบั ดานเปน −d < −y < −c ... แลว นาํ มาบวกกันกบั x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 41 ระบบจํานวนจริง สมการ (Equality) คือประโยคทีม่ ีตัวแปรและกลา่ วถงึ การเทา่ กัน การแก้สมการ คอื การหา ค่าของตวั แปรทที่ ําใหป้ ระโยคน้ันเปน็ จริง อาจกล่าววา่ เปน็ การหา “เซตคําตอบของสมการ” หรอื การ หา “รากของสมการ” ก็ได้ ส่วน อสมการ (Inequality) คอื ประโยคทมี่ ตี ัวแปรและกล่าวถึงการไม่ เท่ากนั (ไดแ้ ก่ > > < < หรือ ≠ ) การแก้อสมการ ก็คอื การหาค่าของตวั แปรทที่ ําใหป้ ระโยคน้นั เป็นจริง ซงึ่ อาจกลา่ ววา่ เปน็ การหา “เซตคาํ ตอบของอสมการ” กไ็ ดเ้ ช่นกนั S ¡ÒÃæ¡oŒ ÊÁ¡Òùaé¹ÁÕ¢Œo¤ÇÃÃaǧa ´a§¹éÕ 1. ¡ÒúǡËÃ×oź·a§é Êo§¢ŒÒ§¢o§oÊÁ¡Òà æÅa¡Òõa´oo¡ÊÒí ËÃaº¡Òúǡź ·íÒä´eŒ ÊÁo 2. ¡ÒäٳËÃ×oËÒ÷§éa Êo§¢ÒŒ §¢o§oÊÁ¡Òà µoŒ §Ãaǧa eÃ×èo§¡ÒÃe»ÅÂèÕ ¹e¤Ã×oè §ËÁÒ ¶ÒŒ ¹Òí ¨íҹǹź¤³Ù ËÃo× ËÒ÷é§a Êo§¢ÒŒ §¢o§ÊÁ¡Òà µŒo§¡Åºa ´ŒÒ¹e¤Ãoè× §ËÁÒÂÁÒ¡¡Çҋ /¹oŒ ¡Çҋ 3. ¡ÒáÅaºeÈÉe»¹š ʋǹ ¡Òá¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢ÒŒ § ¡Òä³Ù ä¢ÇŒ ¶ŒÒäÁ‹¨íÒe»¹š äÁ‹¤Ç÷íÒ¹a¤Ãaº e¾ÃÒae¤Ãèo× §ËÁÒÂoÒ¨¼i´ (¤×oºÒ§¤Ã§aé eÃÒäÁ‹·ÃҺ湋ªa´Çҋ µoŒ §¡Åaº´ÒŒ ¹e¤Ãèo× §ËÁÒÂËÃ×oäÁ)‹ เทคนิคการหาช่วงคาํ ตอบของอสมการพหนุ าม 1. เมือ่ แยกตัวประกอบเรยี บร้อยแล้ว อสมการโดยท่ัวไป (ในตัวอยา่ งสมมตวิ ่าเครอื่ งหมายเป็น > ) จะอยใู่ นรูป (x − c1)(x − c2)(x − c3)... > 0 เช่น (x + 3)(x − 1)2 > 0 (x − d1)(x − d2)... x (x − 2)3 2. เขียนเสน้ จาํ นวนและระบุตําแหน่งของ c1, c2, c3, d1, d2, ... ให้ครบทุกตวั (เรียงตามลาํ ดบั น้อยไปมาก) และหากมตี วั ประกอบใดอยหู่ ลายคร้ัง ก็เขียนจุดเปน็ จํานวนเท่านน้ั คร้ังด้วย เช่นในภาพ -3 0 1 1 2 2 2 - +- +- +- + 3. ใส่เครอ่ื งหมาย +, –, +, – สลบั กันไปในชว่ งยอ่ ยๆ -3 0 1 1 2 2 2 บนเสน้ จํานวน โดยเร่ิมจากช่วงขวามือทส่ี ุดเป็น + เสมอ 4. หากในอสมการเป็นเคร่อื งหมาย “มากกวา่ ศูนย์” ชว่ งคําตอบจะเปน็ ช่วงเปิด ในช่วง + หากเป็นเครอื่ งหมาย “นอ้ ยกว่าศูนย”์ ช่วงคาํ ตอบจะเป็นชว่ งเปิด ในช่วง – โดยท่ีถ้ามีเครอ่ื งหมาย “เท่ากบั ศนู ย์” อยดู่ ว้ ย ช่วงคาํ ตอบจะเปลย่ี นเป็นชว่ งปิด - +- +- +- + ทัง้ น้ีต้องระวงั เร่ืองเศษส่วน ทต่ี วั สว่ นตอ้ งไม่เป็นศูนย์ -3 0 1 1 2 2 2 ( )x ≠ d1, d2, ... 5. จดั รูปคําตอบใหก้ ระชบั (ยบุ รวมจุดท่ีเปน็ จดุ เดยี วกัน) -3 0 1 2 เชน่ ในตัวอยา่ งนี้ตอบว่า x ∈ [−3, 0) ∪ {1} ∪ (2, ∞) * หากมีจดุ ซํ้ากันเกนิ 2 จดุ (ยกกําลังมากกว่า 2) ถา้ เป็นกําลังคใู่ ห้เขียนจดุ เพยี ง 2 จดุ แต่ถ้าเป็น กาํ ลงั คีใ่ หเ้ ขยี นจุดเพยี งจดุ เดียว เนอื่ งจากในตอนทา้ ย ช่วงทไ่ี ดก้ ็จะยุบรวมกันเสมอ ขอ้ ควรระวงั S ¨u´·è¼Õ ´i º‹oÂ! S การใช้เสน้ จํานวนในการหาคาํ ตอบ สมั ประสิทธิ์หน้า x ทกุ ๆ วงเล็บจะตอ้ งไมต่ ดิ ลบ (หากตดิ ลบให้นาํ -1 คูณทัง้ สองขา้ ง ¡ÒÃe¢Õ¹¤Òí µoº¢o§ÊÁ¡ÒÃæÅaoÊÁ¡ÒèaµÒ‹ §¡¹a เพือ่ ให้เครื่องหมายกลายเปน็ บวก และอยา่ ลืมกลับดา้ น ¹a¤Ãºa .. ¶ÒŒ e»š¹ÊÁ¡ÒÃeÃÒ¨aºæµÅ‹ aǧeÅçºe»š¹ 0 เครอื่ งหมายมากกว่า/น้อยกว่าด้วย) เช่น (x+1)(3-x) > 0 แบบนต้ี ้องเปล่ยี นเป็น (x+1)(x-3) < 0 ก่อน 䴌 eª¹‹ (x-2)(x-3) = 0 ¨a䴌 x = 2, 3 ¶Ù¡µoŒ § ..测¶ŒÒe»¹š oÊÁ¡Òà (x-2)(x-3) < 0 ¨a¡ÅÒÂe»š¹ x < 2, 3 äÁä‹ ´eŒ ´ç´¢Ò´! µŒo§ËҪNj §¤Òí µoº¨Ò¡eʌ¹¨Òí ¹Ç¹e·Ò‹ ¹¹aé ¹a¤Ãaº! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษส ขุ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 42 ระบบจํานวนจริง • ตัวอยา ง ใหหาเซตคาํ ตอบของสมการ x2+ 2x − 19 = 4 x−4 วิธีคดิ สามารถยา ยขางไปคูณไดท นั ที (แตต อ งกาํ กบั เงือ่ นไขวา x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4 ดว ย) จะได x2+ 2x − 19 = 4(x − 4) ... จากนน้ั ยา ยทางขวามาลบเปน x2− 2x − 3 = 0 หรือ (x + 1)(x − 3) = 0 ... ดงั นัน้ คาํ ตอบคือ {−1, 3} • ตวั อยาง ใหหาชว งคาํ ตอบของอสมการ x2+ 2x − 19 < 4 x−4 วิธีคดิ อสมการนีย้ ายขาง x − 4 ไปคณู ไมไ ด เพราะไมแนใจวาตอ งกลบั เครื่องหมาย < หรือไม ดงั นน้ั จึงใชวิธียา ยเลข 4 ทางขวามาลบแทน ... ไดเปน x2+ 2x − 19 − 4 < 0 x−4 จดั รปู ฝง ซา ยใหเ ปน เศษสวนเดียว คือ x2− 2x − 3 < 0 จากนนั้ เปน (x + 1)(x − 3) < 0 x−4 x−4 อยใู นรูปที่ตอ งการแลว เขียนเสน จํานวนเพื่อหาคาํ ตอบ -+- + (อยา ลืม x ≠ 4 ) ... และคาํ ตอบทีไ่ ดคือ (−∞, −1] ∪ [3, 4) -1 3 4 หมายเหตุ S ¨´u ·è¼Õ i´ºo‹ Â! S ถ้ามีพหนุ ามดีกรีสองทแ่ี ยกตัวประกอบเป็นจํานวนจรงิ ไม่ได้ (คือใช้ สูตร −B ± B2 − 4AC แลว้ พบว่าในร้ทู ติดลบ) เวลาเขียนเส้นจาํ นวน ¡Ò÷eèÕ ÃÒ桵aÇ»Ãa¡oºã¹ã¨æÅnj ¹Ö¡eÅ¢ 2A äÁo‹ o¡ äÁ‹ä´æŒ »ÅNjҡoŒ ¹¹¹éa æ¡äÁä‹ ´¹Œ a ให้ละท้ิงก้อนน้ันไปได้เลย เขียนจดุ เฉพาะตัวประกอบทแี่ ยกเป็นกําลงั ¤Ãºa .. ¨aµoŒ §Åo§ãªÊŒ µÙ ô¡Ù o‹ ¹ eª¹‹ หนึ่งได้ (เพราะกอ้ นนั้นจะเปน็ บวกเสมอ และไมม่ ีผลต่อความจรงิ เท็จ ของอสมการ) เช่น x2+x-3 < 0 ãªÊŒ ÙµÃ䴌 −1 ± 1 + 12 2 (x + 2)(x − 5)(x2 + 2x + 2) < 0 จะได้เสน้ จํานวนดงั น้ี 溺¹ÕÊé ÒÁÒöe¢ÂÕ ¹eʌ¹¨Òí ¹Ç¹ä´Œ æÅa x−3 - + - + ªÇ‹ §¤íÒµoº¤×o ⎡ −1 − 13 , −1 + 13 ⎤ ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ -2 3 5 สมบัติความบริบูรณ์ (The Axiom of Completeness) เป็นสมบัตขิ อ้ สุดทา้ ยของระบบจาํ นวนจรงิ มีชอ่ื อกี อย่างหนึง่ วา่ สัจพจน์การมคี า่ ขอบเขตบน นอ้ ยสุด (Least Upper Bound Axiom) ค่าขอบเขตบน คือค่าจาํ นวนจรงิ ซ่งึ ไมน่ ้อยกว่าสมาชกิ ใดๆ ในเซตทีก่ ําหนดให้ เช่น เซต S = {0, −1, −2, −3, −4, ...} มีคา่ ขอบเขตบนเปน็ 0 หรอื 0.5 หรอื 1.8 หรืออื่นๆ เพราะ ค่าเหล่านไ้ี ม่นอ้ ยกวา่ สมาชกิ ใดใน S แต่ ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ได้แก่ 0 เทา่ น้นั คา่ ขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คอื ค่า b ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสุดของชว่ ง (−∞, b) และ (−∞, b] คือค่า b ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ ของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ (−∞, ∞) หาไมไ่ ด้ สมบตั ขิ อ้ สุดท้ายของระบบจํานวนจรงิ กลา่ ววา่ “สับเซตใดๆ ของ R ถ้ามขี อบเขตบนแลว้ ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสดุ จะยังอยใู่ น R ” ซงึ่ สมบัติข้อนใี้ นระบบจาํ นวนอ่นื บางระบบ เช่น Q ไมม่ ี Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทกั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 43 ระบบจํานวนจรงิ แบบฝกึ หดั 2.3 (21) ข้อความต่อไปน้ีถกู หรือผิด (21.1) ถ้า (a − b)(b − c)(c − d) > 0 แล้ว a > b > c > d (21.2) ถา้ a < b และ n ∈ N แล้ว an < bn (21.3) ถ้า a > 0 , b > 0 และ a ≠ b แล้ว a + b > ab 2 (21.4) ถ้า a > 0, b>0 และ a≠b แล้ว b + a > 1+ 1 a2 b2 ab (22) ถา้ a < b < c แลว้ ข้อความต่อไปนถ้ี ูกหรือผิด (22.1) a < a + b < b (22.3) a3 < b3 < c3 2 (22.2) a < a + b + c < c (22.4) ab < bc 3 (23) ถ้า −7 < x < 5 และ 3 < y < 6 แลว้ ค่าตอ่ ไปนี้อยูใ่ นช่วงใด (23.1) x2 − y (23.2) xy2 (24) ถ้า −6 < x < −2 และ 2 < y < 3 แลว้ คา่ ต่อไปนอ้ี ยู่ในชว่ งใด (24.1) xy (24.3) x/y (24.2) x − y (25) ต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัวใหม้ เี ส้นรอบรูป 20 ซม. และความสูงไม่เกิน 5 ซม. ความ ยาวฐานควรเป็นเช่นไร (26) ถา้ A และ B เป็นเซตคาํ ตอบของอสมการ 4 < 3x − 2 < 13 และ 11 − x < 4x + 1 < 2x + 7 ตามลําดบั แลว้ ในเซต A ∩ B ' จะมีจาํ นวนเต็มเปน็ เทา่ ใดบา้ ง (27) ถา้ m และ n คือจํานวนเต็มทีม่ ากท่สี ดุ และน้อยท่สี ดุ ทีเ่ ป็นคําตอบของอสมการ x2 + 6x + 7 < 0 แล้ว m − n เป็นเท่าใด (28) ข้อความต่อไปน้ถี กู หรอื ผิด ก. ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของคาํ ตอบท่เี ป็นจํานวนเตม็ ของ 20 − 3x − 2x2> 0 คือ 13 ข. คา่ สมั บูรณ์ของผลบวกของคาํ ตอบทีเ่ ปน็ จาํ นวนเต็มของ 3x2+ 7x − 30 < 0 คือ 7 (29) ถ้า m คือผลบวกจํานวนเตม็ ท่ีเป็นคําตอบของ 21 + 5x − 6x2 > 0 และ n คือผลบวกจาํ นวนเตม็ ท่ีไม่เป็นคําตอบของ 3x2− 1 > 1 + x − 3x2 แลว้ ใหห้ า m + n (30) กาํ หนด a และ b เป็นจํานวนเต็มทีม่ ากทีส่ ดุ และนอ้ ยทส่ี ดุ ซ่ึงไม่เป็นคําตอบของอสมการ 2x2+ 4x − 5 > 0 ตามลาํ ดบั แล้วขอ้ ความตอ่ ไปนี้ถูกหรอื ผิด (30.1) {ab} ⊂ {a, b} (30.2) {a + b} ⊂ {a, b} (31) ถ้าพหนุ าม x3+ a2x − a − 2 หารดว้ ย x − 1 แล้วเหลือเศษมากกว่า 5 คา่ a เป็นเทา่ ใดได้บา้ ง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 44 ระบบจํานวนจริง (32) จงหา (32.1) เซตคําตอบของอสมการ x (x − 1)(x − 2) < 0 (x + 1)(x − 2) (32.2) เซต (A '∩ B ')' เมื่อ A เป็นเซตคาํ ตอบของ (x + 2)(x − 3)(x − 1)4 < 0 และ B เป็นเซตคําตอบของ (x + 4)(x − 3)(x + 2)3 > 0 (32.3) ผลบวกค่าสมั บูรณข์ องจาํ นวนเตม็ ใน { x | (x + 4)(x + 1)(x − 2)3 > 0}' x (x − 5)2 (33) ใหห้ าเซตคําตอบของ x3− x2 − 4x + 4 > 0 (34) ถ้า A เป็นเซตคาํ ตอบของ x3+ 2x2 < 5x + 6 และ B = (−5, ∞) แล้ว ผลบวกของจาํ นวนเต็มใน A ∩ B เปน็ เทา่ ใด (35) ใหห้ าเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (35.1) 1 < 2 x − 1 3x − 1 (35.2) [Ent’29] 4 > 2 x −2 x+1 (36) ถา้ A เปน็ เซตคาํ ตอบของ 2x − 5 > 0 และ B เปน็ เซตคาํ ตอบของ 2x − 1 < 1 แล้ว x+2 x+5 ใหห้ าผลบวกของจํานวนเต็มทมี่ ากทีส่ ดุ กับจํานวนเต็มทีน่ ้อยท่ีสดุ ในเซต B ∩ A ' (37) [Ent’38] ให้ S เปน็ เซตคําตอบของ x − 1 > 2 และ a เปน็ ขอบเขตบนน้อยสดุ ของ S แลว้ x+2 คา่ ของ a2+ 1 เปน็ เท่าใด (38) ให้หาขอบเขตบนน้อยสุดของแตล่ ะเซตท่ีกําหนดให้ (38.1) { x | x2 < 7 } (38.3) (−2, 6] ∪ [3, 8) (38.2) { 1, 5, 7, 9 } ∪ [6, ∞) (38.4) { x = 2n | n ∈ I } (39) ถ้า a เป็นขอบเขตบนนอ้ ยสุดของ A = { x | x = n , n ∈ I+} n+1 และ b เป็นขอบเขตลา่ งมากสุดของ B = { x | x = 1 , n ∈ I−} แลว้ ให้หาคา่ a + b n (40) ให้หาผลบวกของค่าขอบเขตบนน้อยสุด และคา่ ขอบเขตลา่ งมากสดุ ของเซตคําตอบของ อสมการ 2x2 − 5x + 2 < 5 2.4 คา่ สัมบรู ณ์ “คา่ สมั บรู ณ์ (Absolute Value หรือ Modulus) ของจํานวนจริง a” ใช้สญั ลักษณว์ า่ a ค่าสมั บูรณ์มีความหมายเชงิ เรขาคณิต คือ a เทา่ กับระยะห่างระหว่างจดุ ที่แทน a กับจดุ 0 และ a − b เท่ากบั ระยะห่างระหว่างจดุ ทแ่ี ทน a กบั จดุ ท่ีแทน b ดังน้ัน นยิ ามของคา่ สัมบูรณ์ของจํานวนจรงิ เป็นดังนี้ ⎧a ,a > 0 a = ⎩⎨−a ,a < 0 Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพิทกั ษส ุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 45 ระบบจาํ นวนจรงิ จากสงิ่ เหล่านี้ ทําใหส้ รปุ ทฤษฎไี ด้หลายอยา่ ง เช่น [1] ค่าสมั บรู ณ์ต้องไม่น้อยกวา่ ศนู ย์ a > 0 เสมอ [2] ค่าสมั บูรณ์ไมค่ ํานงึ ถงึ เครือ่ งหมายลบ a = −a a−b = b−a an = a n [3] ค่าสมั บูรณ์กระจายได้ สําหรบั การคูณ ab = a b a−b > a − b [4] ค่าสมั บูรณ์กระจายได้ สาํ หรบั การหาร a a โดย b ≠ 0 = bb [5] ยกกําลังด้วยเลขคู่ไมต่ ้องใส่คา่ สมั บูรณ์ a2 = a 2 = a2 [6] คา่ สัมบรู ณ์กระจายไมไ่ ด้ สําหรบั การบวกลบ a + b < a + b * [7] รากที่ n ของกาํ ลัง n n an = ⎧⎪ a , n = จํานวนคู่ ⎨ ⎩⎪ a , n = จาํ นวนค่ี ทฤษฎที ชี่ ่วยแก้สมการและอสมการทีม่ คี า่ สัมบูรณ์แบบงา่ ย (คอื มคี า่ สัมบรู ณ์เดียว และอกี ขา้ งของสมการเป็นค่าคงท่ี) * [1] สมการ x = b มคี วามหมายเดียวกบั สมการ x2 = b2 (ยกกาํ ลงั สองทง้ั สองข้างได)้ และยังสรุปไดว้ ่า “ x = b หรือ x = −b ” ด้วย (วธิ นี ้สี ะดวกกว่าการยกกาํ ลังสอง) * [2] อสมการ x < b ความหมายเดียวกับ −b < x < b อสมการ x < b ความหมายเดยี วกบั −b < x < b อสมการ x > b ความหมายเดียวกบั “ x < −b หรือ x > b ” อสมการ x > b ความหมายเดยี วกบั “ x < −b หรือ x > b ” -b b • ตวั อยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ 3 − x = 1 S ¨u´·¼èÕ i´º‹oÂ! S วธิ ีคดิ จาก 3 − x = 1 จะได 3 − x = 1 หรือ 3 − x = −1 ... ÊÁ¡Ò÷èoÕ ¡Õ ¢ÒŒ §Ë¹Ö§è µ´i µaÇæ»Ã eª‹¹ แปลวา x = 2 หรือ x = 4 ... x + 2 = x ·Òí 溺¹éäÕ ´.Œ . ดงั น้ัน คาํ ตอบคือ {2, −2, 4, −4} “ x + 2 = x ËÃo× x + 2 = − x ” • ตวั อยาง ใหหาชวงคําตอบของอสมการ 3 − x < 1 eËÁo× ¹Çi¸ÂÕ ¡¡íÒŧa Êo§·§aé Êo§¢ÒŒ § æŌnjҠวิธีคิด จาก 3 − x < 1 จะได ... −1 < 3 − x < 1 ... ÁÒź¡¹a (¼Åµ‹Ò§¡íÒÅa§Êo§) «Ö觨aµoŒ §µÃǨ นาํ 3 ลบท้ังสามสว นของสมการ −4 < − x < −2 … ¤íÒµoºeÊÁo¹a¤Ãaº e¾ÃÒa¤íÒµoºã´·Õ·è íÒãˌ นาํ ลบคณู ท้ังสมการ 2 < x < 4 … ¤Ò‹ ÊÁa ºÙóµ i´Åº ¨a㪌äÁ‹ä´.Œ . ดังนัน้ คาํ ตอบคือ [−4, −2] ∪ [2, 4] 测¶ÒŒ e»š¹oÊÁ¡Òà eª‹¹ x + 2 < x äÁ‹¤Ç÷Òí 溺¹éÕ! “ −x < x + 2 < x ” e¾ÃÒaµÃǨ¤íÒµoº ÅíÒºÒ¡ ... ¤ÇÃãªÇŒ ¸i Õ桪Nj §Â‹oµÒÁ·Õè¨a o¸iºÒÂã¹ËÇa ¢Œo¶a´ä»¤Ãºa .. เทคนคิ การหาคาํ ตอบของสมการและอสมการทีม่ ีค่าสัมบรู ณ์ใดๆ 1. กาํ หนดจดุ ที่ทาํ ให้คา่ สัมบูรณแ์ ตล่ ะพจน์เป็นศนู ย์ ลงบนเส้นจํานวนใหค้ รบทุกจุดเรยี งตามค่าน้อยไป มาก เช่นสมการ 2x + 1 − x − 2 = x + 3 ... มีค่าสมั บูรณอ์ ยู่ 2 พจน์ กก็ ําหนดจุดบนเสน้ จํานวน 2 จดุ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 46 ระบบจํานวนจริง เส้นจาํ นวนทีไ่ ด้จะถกู แบ่งเป็นชว่ งย่อยๆ ซึ่งใช้เป็นเงอ่ื นไขของคา่ x เชน่ ในตวั อยา่ งน้จี ะมชี ว่ ง x < −1/2 , −1/2 < x < 2 , และ x > 2 (สังเกต : เครื่องหมาย “เทา่ กับ” จะอยู่รวมกับ “มากกว่า” ตามนยิ ามของการถอดคา่ สัมบูรณ์) -1/2 2 2. ในแต่ละชว่ งย่อย สมการจะถอดเคร่อื งหมายค่าสัมบูรณ์ทง้ิ ได้ โดยให้ทดลองแทนจํานวนใดๆ ที่อยู่ ในชว่ งน้นั ลงไปในค่าสมั บรู ณ์ หากภายในค่าสัมบูรณ์ตดิ ลบเม่อื ถอดค่าสัมบรู ณ์ออกแลว้ จะต้องใสล่ บ เพ่ิมให้ แตถ่ ้าภายในเป็นบวกแลว้ กถ็ อดคา่ สัมบูรณอ์ อกได้เลยไมต่ ้องแก้ไขอะไร ... ดังตวั อยา่ งน้ีมี 3 ช่วง จะได้สมการ 3 แบบคอื -1/2 < x < 2 x>2 x < -1/2 -1/2 2 (-2x - 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (x − 2) = x + 3 −x−3 = x+3 3x − 1 = x + 3 x+3 = x+3 x = −3 x=2 0=0 3. ตรวจสอบคาํ ตอบท่ไี ด้ของแตล่ ะชว่ ง ใหใ้ ชค้ าํ ตอบเฉพาะท่อี ยู่ในช่วงนัน้ จรงิ ๆ (อนิ เตอร์เซคกบั เงื่อนไข) แล้วจงึ รวมผลทีไ่ ด้จากแต่ละชว่ งยอ่ ยเขา้ ด้วยกัน (ยูเนยี น) เป็นคําตอบที่แทจ้ รงิ ของสมการ (สงั เกต : หากแกส้ มการแล้วได้ผลเป็น 0 = 0 หรอื ประโยคอนื่ ๆ ท่ีเปน็ จรงิ เสมอ เชน่ 3 > 0 แสดงวา่ ชว่ งย่อยนนั้ เป็นคาํ ตอบได้ทง้ั หมด แต่ถา้ แก้สมการแล้วได้ผลเปน็ ประโยคทเ่ี ปน็ เท็จ เชน่ 1 = 0 หรือ 3 < 0 แสดงว่าช่วงย่อยนัน้ ไม่มีคา่ ใดเป็นคําตอบเลย) x>2 x < -1/2 -1/2 < x < 2 -1/2 2 x = −3 ∅ x>2 ตวั อยา่ งนคี้ ําตอบท่ีได้คือ x ∈ {−3} ∪ [2, ∞) แบบฝึกหัด 2.4 (41) ขอ้ ความต่อไปนถ้ี ูกหรือผิด (41.1) ถา้ n ∈ I+ และ n > 1 จะได้ n an = a (41.2) ถ้า a, b > 0 แล้ว a − b = a − b (42) ให้หาคา่ ของจํานวนจรงิ m ที่น้อยทส่ี ดุ ทท่ี ําให้ (42.1) 4x + 0.5 < m เมื่อ −3 < 2x − 1 < 0.5 (42.2) x − 2 + 5 < m เม่อื x ∈ (2, 6) x (42.3) x2 − 25 < m เม่ือ x + 5 < 6 (43) ถ้า x − 1 < 5 และ y − 2 < 4 แล้ว x + y มคี ่าอยูใ่ นชว่ งใด Math E-Book Release 2.2 (คณติ มงคลพทิ กั ษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 47 ระบบจาํ นวนจริง (44) ให้หาคาํ ตอบของสมการต่อไปนี้ (44.1) x2 − 6 x + 8 = 0 (44.2) x − 1 + x + 1 = 2 (44.3) [Ent’30] x − 4 + x − 3 = 1 (45) ถ้า A เป็นเซตคาํ ตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3 x และ B เป็นเซตคําตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3x แล้วให้หาเซต B ∩ A ' (46) ใหห้ าผลบวกของคาํ ตอบท้งั หมดของสมการ 8(x + 2)2 − 14(x + 2) + 3 = 0 (47) ถ้า A = { x ∈ I | x2 + 3x + 3 = 2x + 3 } และ B = { x ∈ I | 5 − 3x = 2 } x+2 แล้ว ใหห้ าคา่ a2+ b2 เมื่อ a, b เปน็ ค่าขอบเขตบนนอ้ ยสุดและขอบเขตลา่ งมากสดุ ของ A ∪ B (48) ใหห้ าคาํ ตอบท้ังหมดของสมการ ( x )x2 = x3 (49) ใหห้ าคาํ ตอบของอสมการตอ่ ไปน้ี (49.4) 3 < x (49.1) 2x − 1 < 3x + 2 x−1 − 2 (49.2) 3 < x − 2 < 6 (49.5) x < 2 x −1 (49.3) x + 1 > 0 และ x2 − x − 2 < 0 x (50) ถ้า A เปน็ เซตคําตอบของอสมการ x + 2 + x < 4 2 และ B เปน็ เซตคําตอบของอสมการ x < x − 7 แลว้ ให้หาเซต (A ∩ B)' (51) ถา้ A = { x ∈ R | x < 4x + 5 < 5 } แลว้ ข้อความตอ่ ไปนีถ้ ูกหรอื ผิด 2 (51.1) ถา้ a, b ∈ A แล้ว (a + b)/2 ∈ A (51.2) ถ้า a, b เป็นขอบเขตบนคา่ นอ้ ยสดุ และขอบเขตล่างคา่ มากสดุ ของ A แลว้ a + b ∈ A (52) ถา้ A = { x ∈ R | x2 − 2 < 14 } และ B = { x ∈ R | 1 − 1 > 0 } x แลว้ มจี าํ นวนเต็มใน A ∩ B ' ก่ีจาํ นวน (53) ให้หาค่า a, b, c ทเี่ ปน็ จํานวนนับท่ีน้อยท่ีสุด ท่ีทาํ ให้ (53.1) −4 < x < 1 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b < c (53.2) x < −10 หรือ x > 8 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b > c (54) ให้หาคําตอบของอสมการตอ่ ไปนี้ (54.1) 3x + 2 < 4x + 1 (54.2) [Ent’41] x − 2 < 2 x+1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 48 ระบบจํานวนจรงิ (54.3) x − 7 < 5 < 5x − 25 (54.4) x − 1 + x − 3 < x − 5 (54.5) x2 − 5x − 4 >1 x2 + x − 2 * (55) ให้หาคาํ ตอบของอสมการ x − 3 < x − 2 (56) ให้หาค่า x ทที่ าํ ให้ (56.1) (1 − x )(1 + x) เปน็ จํานวนจรงิ บวก (56.2) (1 − x )(1 + x) เปน็ จํานวนจริงลบ 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบอื้ งต้น * ในหัวขอ้ น้เี ราจะกลา่ วถงึ จํานวนเตม็ เท่านน้ั สมบตั ิของจาํ นวนเตม็ กับการหาร [1] บทนยิ ามของการหารจํานวนเตม็ ลงตวั สัญลักษณ์ท่ใี ช้แทนประโยค “m หารดว้ ย n ลงตวั ” คอื n m เรียก m ว่า ตวั ตงั้ (Dividend) และเรียก n วา่ ตวั หาร (Divisor) สําหรับจาํ นวนเต็ม m, n โดยท่ี n ≠ 0 จะได้ว่า n m กต็ ่อเมือ่ m = n q และ q ∈ I [1.1] สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c [1.2] ตัวหารที่ลงตวั ย่อมน้อยกว่า ถ้า a b แล้ว a < b เสมอ [1.3] การหารผลรวมเชิงเสน้ ลงตวั ถา้ a b และ a c แล้ว a (bx+cy) “ผลรวมเชงิ เส้น (Linear Combination) ของ b กับ c” คือจํานวนในรปู bx+cy ซึ่ง x, y ∈ I S Êèi§·è¤Õ Ç÷ÃÒº! S 1. ¶ŒÒ a b æÅa a c æÅnj a (b ± c) 3. ¶ÒŒ a b æÅŒÇ a bn 2. ¶ŒÒ a b æÅnj a (b ⋅ c) 4. ¶ÒŒ an b æÅŒÇ a b * »Ãao¤´ÒŒ ¹º¹¹Õ¶é Ù¡·u¡¢oŒ 测¶ŒÒ¡Åaº´ŒÒ¹»Ãao¤eËÅҋ ¹¨éÕ a¼i´¹a¤Ãºa ! »Ãao¤´ŒÒ¹Åҋ §¹Õé¼i´·u¡¢Œo! 1. ¶ŒÒ a (b ± c) æÅnj a b æÅa a c 3. ¶ÒŒ a bn æÅnj a b 2. ¶ŒÒ a (b ⋅ c) æÅnj a b 4. ¶ÒŒ a b æÅnj an b [2] บทนยิ ามของการหารจาํ นวนเต็มใดๆ สาํ หรบั จํานวนเตม็ m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้วา่ m = n q + r และ q ∈ I , 0 < r < n มจี ํานวนเต็ม q, r ชุดเดยี วเท่าน้นั เรียก q ว่า ผลหาร (Quotient) และ r คอื เศษ (Remainder) [3] บทนยิ ามของ จํานวนเฉพาะ (Prime Numbers) “จาํ นวนเฉพาะ p คอื จํานวนเตม็ ที่ไมใ่ ช่ 0, 1, −1 และมีจาํ นวนเตม็ ทไ่ี ปหาร p ลงตัวเพียงแค่ 1, −1, p, −p เท่าน้นั ” เชน่ ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... ... จาํ นวนเตม็ อน่ื ๆ ทไ่ี มใ่ ช่จาํ นวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, −1 จดั เปน็ จํานวนประกอบ (Composite Numbers) [3.1] หลกั การมีตวั ประกอบชุดเดียว “ทุกจาํ นวนเตม็ บวกทม่ี ากกว่า 1 จะเขียนในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะบวก ได้แบบเดียว” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 49 ระบบจํานวนจริง [3.2] จาํ นวนเฉพาะกบั การหารลงตวั ถ้า p mn แล้ว p m หรอื p n [4] บทนยิ ามของ จํานวนคู่ (Even Numbers) และ จาํ นวนค่ี (Odd Numbers) “จํานวนคู่ คอื จาํ นวนทเ่ี ขยี นได้ในรปู 2 n เมอ่ื n ∈ I ” “จํานวนคี่ คอื จาํ นวนที่เขยี นได้ในรปู 2 n + 1 เม่อื n ∈ I ” [5] บทนยิ ามของ ตวั หารร่วมมาก (ห.ร.ม. : the Greatest Common Divisor : GCD) และตวั คูณร่วมนอ้ ย (ค.ร.น. : the Least Common Multiple : LCM) “ d เป็น ห.ร.ม. ของ a กับ b ก็เม่อื d a และ d b และถ้ามี n a และ n b แล้ว n d ” สญั ลกั ษณท์ ี่ใช้แทน ห.ร.ม. ของ a กบั b ทีเ่ ป็นบวก คอื (a, b) “ c เป็น ค.ร.น. ของ a กบั b ก็เม่อื a c และ b c และถ้ามี a n และ b n แลว้ c n ” สัญลกั ษณท์ ่ใี ช้แทน ค.ร.น. ของ a กบั b ทเ่ี ป็นบวก คือ [a, b] [5.1] ห.ร.ม. คูณกบั ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ [5.2] ห.ร.ม. ของผลหาร ถา้ (a, b) = d แลว้ (a/d, b/d) = 1 [5.3] ขนั้ ตอนวิธีการหา ห.ร.ม. ของยุคลดิ การหา ห.ร.ม. ของ a กับ b จะเร่ิมโดยเขียน a กบั b ในรูปการหาร แล้วนําเศษท่ีไดไ้ ป หารต่อๆ ไป คือ a = b q1 + r1 b = r1q2 + r2 r1 = r2q3 + r3 ...r2 = r3q4 + r4 ทาํ ไปเร่อื ยๆ จนกวา่ จะหารลงตัว (เศษเปน็ 0) จะได้วา่ ห.ร.ม. เทา่ กบั เศษตัวสุดท้าย (rk ) เช่น ตอ้ งการหาคา่ ห.ร.ม. ของ 138 กบั 182 จะมีขน้ั ตอนการหาดงั นี้ (182) = (138) 1 + (44) (138) = (44) 3 + (6) (44) = (6) 7 + (2) (6) = (2) 3 ดังน้นั ห.ร.ม. คอื 2 (เพราะ 2 คือเศษตัวสดุ ท้าย ท่ีทําให้การหารน้นั ลงตวั ) หมายเหตุ ถา้ (m, n) = 1 จะเรยี ก m และ n เป็น จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relative Primes) (โดยท่ี m และ n ไม่จาํ เป็นต้องเปน็ จาํ นวนเฉพาะ) การหา ห.ร.ม. หรอื ค.ร.น. ของจํานวนเต็มมากกว่าสองจาํ นวน สามารถหาจากสองจาํ นวน ใดกไ็ ด้ แลว้ นําผลท่ีไดไ้ ปหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ร่วมกับจาํ นวนทเี่ หลือต่อไป แบบฝกึ หดั 2.5 (57) เศษของการหาร (19)3(288)2 ดว้ ย 5 เปน็ เทา่ ใด (58) ให้หา ห.ร.ม. ของ 252 กบั 34 และเขียนในรปู ผลรวมเชิงเสน้ d = 252 x + 34 y เมอ่ื x, y เป็นจํานวนเตม็ (59) ให้หา ห.ร.ม. ของ –504 กับ –38 และเขยี นในรปู ผลรวมเชิงเสน้ ด้วย (60) ถา้ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ x กับ 128 เปน็ 16 และ 384 แล้วค่า x เป็นเทา่ ใด (61) [Ent’37] ให้ x, y เป็นจํานวนเตม็ บวก โดยที่ x < y ถ้า (x, y) = 9 , [x, y] = 28215 และ จํานวนเฉพาะทหี่ าร x ลงตวั มี 3 จํานวน แล้ว x, y มีคา่ เทา่ ใด (62) [Ent’38] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ 80 < x < 200 และ x = p q เม่ือ p, q เป็นจํานวนเฉพาะซึ่งไมเ่ ทา่ กัน ถา้ x, y เปน็ จํานวนเฉพาะสัมพทั ธ์ และมี ค.ร.น. เปน็ 15015 แลว้ ค่า y เป็นเท่าใดไดบ้ า้ ง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ ักษสุข)

คณติ ศาสตร O-NET / A-NET 50 ระบบจํานวนจริง เฉลยแบบฝกึ หัด (คําตอบ) (1) ผิดทกุ ขอ้ (25) อยู่ในช่วง [7.5, 10) ซม. (47) 90 (48) 1, 6 (2) ขอ้ (2.3) ถกู นอกน้ันผดิ (49.1) (−1/5, ∞) (3) ง. (26) 2, 4 (27) 2 (4) ขอ้ (4.1) และ (4.3) ถกู (28) ถูกทกุ ขอ้ (49.2) (−4, −1) ∪ (5, 8) (5) ถูกทกุ ขอ้ (6) ง. (29) (−1 + 0 + 1 + 2) + (0) (49.3) (−1, 2) − {0} (7) 6 + 5 และ 1 (8) ค. (9) ง. (10) เทา่ กนั (30) ถูกทกุ ขอ้ (49.4) (−1, 3) ∪ [3 + 21 , ∞) (11.1) ผดิ (11.2) ถกู (31) a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) (12) 1 (13) –3 (14) –81 2 (15) 4+3 (16) –155/9 (32.1) (−∞, −1) ∪ (0, 1) (17) (x − 1)(x − 2) (49.5) (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞) (32.2) [−4, ∞) − {1} (50) (2, ∞) (51) ถกู ทุกขอ้ (18) (x −1)(x −2)(x − 3)(x +2)(x + 4) (52) 7 (53.1) 2, 3, 5 (32.3) 11 (53.2) 1, 1, 9 (19) (x −2)(x − 4)(x +5)(3x + 1)(x2 + 1) (33) [−2, 1] ∪ [2, ∞) (54.1) (−∞, −3/7) ∪ (1, ∞) (20.1) {b, −b} (20.2) {0} (34) –5 (54.2) (−∞, −4) ∪ (0, ∞) (35.1) (−∞, −1) ∪ (1/3, 1) (54.3) (2, 4) ∪ (6, 12) (20.3) {0, −2b} (54.4) (−1, 3) (35.2) (2, 8] (36) 0 (54.5) (−∞, −1]∪[−1/3, 3]−{1, −2} (20.4) {−a − 1, −a + 1} (37) 5 (38.1) 7 (55) (−∞, −1/2) ∪ (5/2, ∞) (21) ขอ้ (21.1) และ (21.2) ผิด (38.2) ไมม่ ี (38.3) 8 (22) ขอ้ (22.4) ผดิ นอกนน้ั ถกู (38.4) ไมม่ ี (39) 0 (56.1) (−∞, −1) ∪ (−1, 1) (23.1) (−6, 46) (40) 5/2 (41) ผิดทุกข้อ (56.2) (1, ∞) (57) 1 (42.1) 3.5 (42.2) 17/3 (58) 2 = (252)(5) + (34)(−37) (23.2) (−252, 180) (42.3) 96 (43) [0, 12) (59) 2 = (−504)(−4) + (−38)(53) (24.1) (−18, −4) (44.1) 2, −2, 4, −4 (44.2) [−1, 1] (60) 48 (61) 495, 513 (24.2) (−9, −4) (62) 105, 165 (44.3) [3, 4] (24.3) (−3, −2/3) (45) [−2/3, 0) (46) –8 เฉลยแบบฝกึ หัด (วิธคี ดิ ) (1.1) ผดิ ทศนยิ มไม่ซาํ้ เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ ค. ไม่มีการบวกและคณู เลย (เชน่ 3 + (−3) = 0 (1.2) ผดิ ทศนยิ มซ้าํ เปน็ จาํ นวนตรรกยะ 44 (1.3) ผิด เชน่ a = 2 และ 3 ⋅ 4 = 1 ) 43 (1.4) ผิด เชน่ a = 3 ง. ถกู (เพราะ บวกกนั แลว้ ยอ่ มยงั หาร 4 ลงตัว, (2.1) ผิด เชน่ a=0 แล้ว b จะเปน็ เทา่ ใดก็ได้ คูณกนั กย็ งั หาร 4 ลงตวั ) (2.2) ผดิ ตอ้ งเป็น a=0 หรอื b=0 (ไม่จาํ เปน็ ตอ้ ง (4.1) ถกู (จํานวนจริงลบกนั ยอ่ มเปน็ จาํ นวนจรงิ ) เป็น 0 พร้อมกนั ทัง้ ค)ู่ (4.2) ผิด เพราะ (a − b) − c ≠ a − (b − c) (2.3) ถกู (ตามกฎการคูณเข้าท้งั สองขา้ ง เอา b (4.3) ถกู (นําจาํ นวนจริงทไ่ี ม่ใช่ 0 มาหารกนั ย่อม คณู จะได้ a = c ) เป็นจาํ นวนจรงิ ) ... (แตถ่ า้ รวม 0 ด้วย ขอ้ นจ้ี ะผิด เพราะสว่ นเปน็ 0 นน้ั ไม่นิยาม) (2.4) ผิด เชน่ a=0 แล้ว b กับ c ไมจ่ ําเปน็ ตอ้ ง เทา่ กนั (4.4) ผิด เพราะ [a] ÷ c ≠ a ÷ [b] (3) ก. มีการบวก แต่ไม่มกี ารคณู bc (เพราะ ลบคณู ลบ ไดบ้ วก) ข. ไมม่ ีการบวก (เช่น 3 + 5 = 8 → 8 ไมอ่ ยู่ใน (5) A = {x | x เปน็ จาํ นวนนบั และ x เปน็ เซตน)ี้ และไมม่ กี ารคณู (เช่น 3 ⋅ 5 = 15 ) จํานวนตรรกยะ } = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} หรือ มองวา่ A เปน็ เซตของจาํ นวนนับยกกาํ ลังสองกไ็ ด.้ . B = N - A = { จาํ นวนนบั อน่ื ๆ ทไ่ี มอ่ ยู่ใน A} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพทิ กั ษสขุ )