รวมความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย Math E-Book

Math E-Bookฉบบเขมขนั(Conc/Revise!) Release.Jun.08คณิต มงคลพิทกษ์สุข วศ บ ไฟฟ้า จุฬาฯั . .http://math.kanuay.com [email protected] อภินันทนาการแกผู้ให้ความสนับสนุน ชวยเหลือ่/่Math E-Bookแจกฟรี! หามเอาไปใชหาเงนนะิ

Math E-BookฉบับเขมขนRelease.Jun.08 เรยบเรยงโดย คณิต มงคลพทกษสุขีีิั¨´·Ò¢¹e¾oe»¹¢o§µoºæ·¹¹éíÒã¨ã¹ o¡Òʵҧ aíึ éื šèo‹æRelease.Nov.06Áoºã˼Ù樧¨´¼i´ ¶ÒÁ䶾ٴ¤Â ã¹Ãoº » Œ Œ Œu‹u2‚æÅ ¼ÙãˤÇÒÁ¤´e˹e¡ÂÇ¡º aŒ ŒiçÕèa“O-Net ʹ·¹Ò ”Release.Apr.07 (©ººæ¡ä¢¨´¼´¾ÅÒ´) aŒuiRelease.Sep.07 (©ººæ¡ä¢¨´¼´¾ÅÒ´) aŒuiRelease.Jun.08Áoºã˼Ùou·Èe§¹Ê¹ºÊ¹u¹Œ ŒiiaMath E-Book ÃÇÁ¶§¼ÙãˤÇÒÁªÇÂeËÅoã¹´Ò¹µÒ§ eª¹e´iÁึ Œ Œ‹ืŒ‹æ‹¼Å§Ò¹¹Õéä´Ãº¡ÒäuÁ¤Ão§µÒÁ ¾Ãº.Åi¢Êi·¸iì ŒaŒËÒÁ´a´æ»Å§ Åo¡eÅÕ¹ ËÃo¹íÒä»ãª»Ã ª¹o¹ã´ ŒืŒao ืè¹o¡¨Ò¡¡ÒÃoÒ¹Êǹºu¤¤Å ‹‹¢o¢oº¤u³¿o¹µNaipol æÅa Kw ngMD a¨Ò¡eǺ çf0nt.com

Math E-Bookฉบับเขมขนสารบัญ¾é¹°Ò¹ Á.4 e·oÁ 1 ืË¹Ò Œº··Õè 1 e«µ 5º··Õè 2 ¡ÒÃãËe˵¼Å Œu25º··Õè 3 ¨íҹǹ¨Ã§ i37º··Õè 4 eŢ¡¡íÒÅa§ 67e¾ièÁeµÁ Á.4 e·oÁ 1 iË¹Ò Œº··Õè 1 µÃáÈÒʵÃeºéo§µ¹  ืŒ79º··Õè 2 à ºº¨íҹǹ¨Ã§ ai101º··Õè 3 ·Äɮըíҹǹeºéo§µ¹ ืŒ133¾é¹°Ò¹ Á.4 e·oÁ 2 ืË¹Ò Œº··Õè 1 ¿§¡ªa¹ ˜ 145º··Õè 2 oaµÃÒÊǹµÃÕ ¡³Áiµi ‹o167e¾ièÁeµÁ Á.4 e·oÁ 2 iË¹Ò Œº··Õè 1 à ººÊÁ¡ÒÃeªi§eʹæÅ eÁ·Ã¡« aŒai177º··Õè 2 ¿§¡ªa¹ ˜ 219º··Õè 3 eâҤ³µÇie¤ÃÒ Ë ia 243¾é¹°Ò¹ Á.5 e·oÁ 1 ืË¹Ò Œº··Õè 1 ÅíÒ´aºæÅ o¹u¡ÃÁ a279º··Õè 2 ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹ ‹aš291

e¾ièÁeµÁ Á.5 e·oÁ 1 iË¹Ò Œº··Õè 1 eo¡« ¾e¹¹eªÕÂÅæÅ Åo¡ÒÃi·Á oaึ311º··Õè 2 ¿§¡ªa¹µÃ ¡³Áiµi ˜ Õo339º··Õè 3 eÇ¡eµoÃã¹ÊÒÁÁiµi 373¾é¹°Ò¹ Á.5 e·oÁ 2 ืË¹Ò Œº··Õè 1 ʶiµiæÅ ¢oÁÅ a ŒÙ407º··Õè 2 ¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÅeºéo§µ¹ a ŒÙืŒ411º··Õè 3 ¡ÒÃÊíÒÃǨ¤ÇÒÁ¤i´e˹ ç441 e¾ièÁeµÁ Á.5 e·oÁ 2 iË¹Ò Œº··Õè 1 ¨íҹǹeªi§«o¹ Œ445º··Õè 2 ·ÄɮաÃÒ¿eºéo§µ¹ ืŒ467º··Õè 3 ¤ÇÒÁ¹Ò¨ e»¹ ‹aš485 e¾ièÁeµÁ Á.6 e·oÁ 1 iË¹Ò Œº··Õè 1 ¡ÒÃÇie¤ÃÒ Ë¢oÁÅeºéo§µ¹ a ŒÙืŒ511º··Õè 2 ¡ÒÃ模樧»¡µi 545º··Õè 3 ¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸eª§¿§¡ªa¹Ã ËÇÒ§¢oÁÙŏi˜ a‹ Œ559e¾ièÁeµÁ Á.6 e·oÁ 2 iË¹Ò Œº··Õè 1 ÅíÒ´aºo¹a¹µæÅ o¹u¡ÃÁo¹a¹µ a579º··Õè 2 æ¤Å¤ÙÅaÊeºéo§µ¹ ืŒ609º··Õè 3 ¡íÒ˹´¡ÒÃeª§eʹ iŒ659

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .4 เทอม 1 บทที่ 1เซต1. e«µ ¤o ¡ÅÁ¢o§Ê§µÒ§æ “ ” ืu ‹iè‹Ê§·oÂÀÒÂã¹ µÅae«µ eÃÕ¡ÇÒ ÊÁÒªi¡ ièÕèÙ ‹æ ‹‹ “”¹ÂÁµ§ªèoe«µ´ÇÂo¡ÉõÇãË eª¹ ia éืŒaa­ ‹‹A, B, CæÅae¢ÕÂ¹Ê Å¡É³ ·¹e«µ´Ç»¡¡Ò a a­æŒ‚{ }µÇoÂÒ§ ¶Ò ·¹e«µ¢o§¨Ò¹Ç¹e©¾ÒaºÇ¡ «è§¹o¡ÇÒ a‹ŒAæíึ Œ‹10 .. Ê´§ÇÒÊÁÒª¡¢o§e«µ ä´ ¡ æ‹iAŒ ‹æ2, 3, 5, Åa æ7¶Ò ·¹e«µ¢o§ªèoe´o¹ã¹ µÅa» ŒBæื ืæ ‹‚æÊ´§ÇÒÊÁÒª¡¢o§e«µ ÁÕo µÇ ä´ ¡ Á¡ÃÒ¤Á, ‹iBÙ ‹12aŒ ‹æ¡uÁÀÒ¾¹¸, ÁÕ¹Ò¤Á, eÁÉÒ¹, ... 仨¹¶§¸¹ÇÒ¤Á aึa2. 㹡ÒÃe¢Õ¹ ¨¡ ¨§ÊÁÒª¡¢o§e«µ ¨a¤è¹ÃaËÇÒ§æ æia‹ÊÁÒªi¡ µÅaµÇ´ÇÂÅ¡¹Ò (e¤Ãèo§ËÁÒ¨ÅÀÒ¤) æ ‹aŒÙéíืuËÒ¡ÁÕÊÁÒª¡e»¹¨Ò¹Ç¹ÁÒ¡ ãË㪨´¨´¨´ (...) 㹡ÒÃišíŒ ŒuuuÅaÊÁÒª¡ºÒ§µÇäÇã¹°Ò¹·e¢Ò㨠iaŒÕ茵ÇoÂÒ§ eª¹ a‹‹= A{2,3,5,7}=B{Á¡ÃÒ¤Á, ¡uÁÀÒ¾¹¸, ÁÕ¹Ò¤Á, ..., ¸¹ÇÒ¤Á aa}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 6 3. e«µÊo§e«µ¨ae·Ò¡¹¡çµoeÁèo ‹a‹ ื ÁըҹǹÊÁÒª¡e·Ò¡¹ Åa •íi‹a æ ÊÁÒªi¡ µÅaµÇ¢o§e«µË¹§µo§oÂã¹o¡e«µË¹§´Ç •æ ‹aึ ŒèÙ ‹Õึ Œè(ËÃo¡ÅÒÇʹæ ÇÒ e«µÊo§e«µ¨ae·Ò¡¹ä´ ¡çeÁèoÊo§e«µื‹a 鋋aŒื¹¹ e»¹e«µe´ÕÂÇ¡¹ e·Ò¹¹) a é“ ša” ‹a éµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= A{2,3,5,7} Åa æ= C{2,3,5,7}¡ç¨aä´ÇÒ Œ ‹= AC** ¶Ò·ÃÒºÇÒe«µÊo§e«µe·Ò¡¹ ¨aÊÃu»ä´ÇҨҹǹŒ‹‹aŒ ‹íÊÁÒª¡µo§e·Ò¡¹´ÇÂeÊÁo iŒ‹aŒæµ¶Ò·ÃÒºÇҨҹǹÊÁÒª¡e·Ò¡¹ ¡çäÁ¨Òe»¹ÇÒe«µÊo§‹ Œ‹íi‹a‹íš ‹e«µ¹¹µo§e·Ò¡¹ a 錋aµÇoÂÒ§ a‹= A{2,3,5,7} Åa æ= D{2,3,1,0}¨ae˹ÇҨҹǹÊÁÒª¡¢o§ ¡º e·Ò¡¹ ç‹íiAaD‹aæµ ‹≠ AD (e¾ÃÒa˹ҵҢo§ÊÁÒªi¡µÒ§¡¹) Œ‹a4. ¡ÒÃe¢Õ¹ÊÁÒª¡ÀÒÂã¹e«µ ¨aäÁÁÕÅÒ´º¡o¹Ëŧ i‹ía‹ae¾ÃÒa¤íÒ¹§e¾Õ§ ¤ÇÒÊÁÒª¡µÇ¹¹ o ËÃo äÁo ึæ‹ ‹ia aé“ ‹”Ùื “ ‹ ‹”Ùã¹e«µ ..´§¹¹¡ÒÃÊź·ÊÁÒª¡ã¹e«µ ¨aäÁ·ÒãËa aéaÕèi‹íŒ¤ÇÒÁËÁÒÂe»Å¹ Êź Åǡ秤§e»¹e«µe´iÁ Õèa æŒašµÇoÂÒ§ eª¹¨Ò¡e´iÁ a‹‹= A{2,3,5,7}¨ae¢Õ¹e»¹ š= A{5,3,7,2} ¡çä´ Œ

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 7 ËÃo¶Ò ื Œ=E{l,i,s,t,e,n} Åa æ= F{s,i,l,e,n,t}¡ç¨aä´ÇÒ Œ ‹=EF5. ÊÁÒª¡µÇ·»ÃÒ¡¯«éíÒ¨a¹ºe»¹µÇe´ÕÂÇ¡¹ iaÕèašaa( Åa¡çäÁ¤ÇÃe¢Õ¹«éíÒ) 拵ÇoÂÒ§ eª¹ a‹‹=G{9,0,0,1,4,16,4,1,4}¨aeËÁo¹¡º ืa=H{0,1,4,9,16}(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ‹=GH ÅaÁÕÊÁÒª¡ µÇ ..äÁ㪠) æi5a‹ ‹96. Ê Å¡É³·ãª ·¹¤íÒÇÒ e»¹ÊÁÒªi¡¢o§ ¤o a a­ÕèŒæ‹ “ š” ื∈Ê Å¡É³·ãª ·¹¤íÒÇÒ äÁe»¹ÊÁÒªi¡¢o§ ¤o a a­ÕèŒæ‹ “ ‹ š” ื∉µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= A{2,3,5,7}¨aä´ÇÒ Œ ‹∈3A µ æ ‹∉4AÊ Å¡É³ a a­∈3A oÒ¹ÇÒ e»¹ÊÁÒªi¡¢o§ ‹‹ “3šA ”ËÃo¾Ù´Ê¹æ ÇÒ oÂã¹ ¡çä´ ืa é‹ “3Ù ‹A ”ŒÊ šɳ a a­∉4A oÒ¹ÇÒ äÁe»¹ÊÁÒªi¡¢o§ ‹‹ “4‹ šA ”ËÃo¾Ù´Ê¹æ ÇÒ äÁoÂã¹ ¡çä´ ืa é‹ “4‹ ‹ÙA ”Œ7. Ê Å¡É³·ãª ·¹ ¨Ò¹Ç¹ÊÁÒª¡¢o§e«µ a a­ÕèŒæ“ íiX ”¤o ืn(X)

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 8 µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= A{2,3,5,7} ¨aä´ Œ=n(A)4¶Ò Œ=B{Á¡ÃÒ¤Á, ¡uÁÀÒ¾¹¸, ÁÕ¹Ò¤Á, ..., ¸¹ÇÒ¤Á aa}¨aä´ Œ=n(B) 12ËÃo¶Ò ื Œ=G{9,0,0,1,4,16,4,1,4} ¨aä´ Œ=n(G)5** ÀÒÂã¹e«µ oÒ¨¨aÁÕ¤Ùo¹´º ËÃoÁÕe«µoÂo¡ªé¹ ËÃoÁՋa aืÙ ‹ÕaืÊÁÒª¡e»¹oÂÒ§äáçä´ ËÅ¡¡Òùº¨Ò¹Ç¹ÊÁÒª¡¨aãË iš‹ŒaaíiŒ1¤Ùo¹´ºËÃo e«µ e»¹ÊÁÒªi¡ µÇ ‹a aื1š1aµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= J{1,(2,3),{4,5,6,7},8,(9,0)}¨aä´ Œ=n(J)5 (äÁ㪠) ‹ ‹10ËÃo¶Ò ื Œ= K{a,(b,c),{(d,e),f,g,h},i}¨aä´ Œ=n(K)4(ÊÁÒªi¡¢o§ ä´ ¡ Åa KŒ ‹æaæ(b,c) æÅa {(d,e),f,g,h}æÅa ÃÇÁe»¹ µÇ) iš4aµÇoÂÒ§ a‹¶Ò Œ=L{(2,3),(3,2),(1,1)} ¨aä´ Œ=n(L)3(e¾ÃÒa¤Ùo¹´º ‹a a(2,3) ¡º a(3,2) e»¹Ê§·µÒ§¡¹) šièÕè‹aæµ¶Ò ‹ Œ= M{{2,3},{3,2},{1,1}} ¨aä´ Œ=n(M)2(e¾ÃÒae«µ {2,3} ¡º a{3,2} ¶oe»¹Ê§·eËÁo¹¡¹ ÅaืšièÕèืa æäÁµo§¹º«éíÒ!) ‹ Œa

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 9 8. e«µ·äÁÁÕÊÁÒª¡eÅ eÃÕ¡ÇÒ e«µÇÒ§ Õè‹i‹ “‹ ”ãªÊ šɳ ËÃo ´§¹¹¨aä´ÇÒ Œ ­a a{ }ื∅a aéŒ ‹∅=n( )0µÇoÂÒ§ ¶Ò ¤oe«µ¢o§¨Ò¹Ç¹¹º·Õè¹o¡ÇÒ a‹ŒPืíaŒ‹1¨aä´ Œ= P{ } (äÁÁÕÊÁÒª¡oÂeÅÂ) ‹iÙ ‹o´Â¹ÂÁe¢Õ¹e»¹ iš=∅P** e«µÇÒ§µo§e¢Õ¹e»¹ ËÃo e·Ò¹¹ ‹Œš{ }ื∅‹a é¶Òe»¹ ºº¹Õé Œ šæ∅{} e«µ¹¨aäÁãªe«µÇÒ§ (e¾ÃÒaÀÒÂã¹ÁÕÕé‹ ‹‹ÊÁÒª¡ µÇ ¤o ¹¹eo§) i1aื∅a è9. e«µ¨Ò¡´ ¤oe«µ·ºo¡¨Ò¹Ç¹ÊÁÒª¡ä´ (Áըҹǹ“ía” ืÕèíiŒíÊÁÒª¡e»¹¤Òæ ˹§ ·äÁ㪠) iš ‹ึ èÕè‹ ‹∞“e«µo¹¹µ ¤oe«µ·Õè¨Ò¹Ç¹ÊÁÒª¡ÁÒ¡¨¹ËÒ¤ÒäÁä´ a” ืíi‹ ‹ Œ(ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒÁÕÊÁÒª¡¶§ µÇ!) äÁÊÒÁÒöe¢Õ¹‹iึ∞a‹ÊÁÒª¡ãˤú·¡µÇä´ iŒuaŒµÇoÂÒ§ ¶Ò ¤oe«µ¢o§¨íҹǹeµçÁ·Õè¹o¡ÇÒ a‹ŒSืŒ‹3¨aä´ Œ=− −−−S{2,1,0, 1, 2, 3, 4,...}æÅae«µ ¹e»¹e«µo¹¹µ SÕéša¶Ò ¤oe«µ¢o§¨Ò¹Ç¹ã´æ ·oÂÃaËÇÒ§ Åa ŒTืíÕèÙ ‹‹1æ3eÃÒ¨aäÁÊÒÁÒöe¢Õ¹ ¨¡ ¨§ÊÁÒª¡¢o§e«µ ä´ ‹æ æiTŒæµºo¡ä´ÇÒe«µ ¹e»¹e«µo¹¹µ ‹Œ ‹TÕéša

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 10 e¾ÃÒaeÃÒÊÒÁÒöËÒÊÁÒª¡¢o§ ãËäÁ«éíÒ¡¹ä´eÃèoÂæ äÁiTŒ ‹aŒ ื‹¨ºÊ¹.. ié** e«µÇÒ§ ¨´e»¹e«µ¨Ò¡´ (e¾ÃÒaäÁä´ÁÕÊÁÒª¡ÁÒ¡¨¹‹ašía‹ Œi¹ºäÁ¶Ç¹) a‹ Œ10. ¡ÒÃe¢Õ¹e«µ¹o¡¨Ò¡e¢Õ¹ ºº ¨¡ ¨§ÊÁÒªi¡ æ“æ æ”æÅÇ Â§ÁÕo¡ÃÙ» ºº¤o ºººo¡e§o¹ä¢ ŒaÕæื “æื è”e»¹¡ÒÃe¢Õ¹ã¹ÃÙ» { ÊÁÒª¡ e§o¹ä¢ } ši|ื èoÒ¹ÇÒ e«µ¢o§ (ÊÁÒªi¡) ´Â· (e§o¹ä¢) ‹‹ “oÕèื 蔵ÇoÂÒ§ eª¹ (¨Ò¡µÇoÂÒ§· ÅÇ) a‹‹a‹Õèæ Œ=<< T{ x 1 x3 }|oÒ¹ÇÒ e»¹e«µ¢o§ ´Â·Õè ÁÕ¤ÒÃaËÇÒ§ ¡º ‹‹Tšxox‹‹1a3¶Ò Œ= A{ xx |e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾ÒaºÇ¡«è§¹o¡ÇҚíึ Œ‹10 }(oÒ¹ÇÒ e«µ¢o§ ´Â·Õè e»¹¨Ò¹Ç¹e©¾ÒaºÇ¡«è§..) ‹‹xoxšíึ¡ç¨a ¨¡ ¨§ÊÁÒª¡ä´e»¹ æ æiŒ š= A{2,3,5,7}ËÃo¶Ò ื Œ=B{ xx |e»¹ªoe´o¹ã¹ µÅa» š ื ืèæ ‹‚}(oÒ¹ÇÒ e«µ¢o§ ´Â·Õè e»¹ªoe´o¹ã¹ µÅa») ‹‹xoxš ื ืèæ ‹‚¨aä´ Œ=B{Á¡ÃÒ¤Á, ¡uÁÀÒ¾¹¸, ÁÕ¹Ò¤Á,..., ¸¹ÇÒ¤Á aa}¶Ò Œ=2H{ x|¤ÒÊÁºÃ³¢o§¨Ò¹Ç¹eµçÁ ¹o¡ÇҋaُíxŒ‹5}(oÒ¹ÇÒ e«µ¢o§‹‹2xo´Â·Õè¤ÒÊÁºÃ³¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ ..) ‹aُíçx

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 11 ã¹·Õè¹Õé ¤oxื-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 æµµo§¡ÒÃe«µ¢o§ ´§¹¹¨§ä´ ‹ Œ2xa aéึ Œ=H{0,1,4,9,16}11. ¢oºe¢µ¢o§Ê§·eÃÒʹ㨠eÃÕ¡ÇÒ eo¡À¾ÊÁ¾·¸ ièÕè‹ “a a”ËÃoãªÊ šɳe»¹e«µ ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ÊÁÒªi¡·u¡ืŒ ­a a šU‹µÇ¢o§e«µ·¡æ e«µã¹ ¨·Â¢o¹¹ ¨aµo§oÂÀÒÂã¹ auo Œa éŒÙ ‹UæÅa¨aäÁʹã¨Ê§·oÂÀÒ¹o¡ ‹ièÕèÙ ‹U eo¡À¾ÊÁ¾·¸¨aÊÒ¤ ÊÒËúe«µ ºººo¡e§o¹ä¢ •a aía­ íaæื èµÇoÂÒ§ ¡íÒ˹´ãË a‹Œ= V{ xx0 }|>¶ÒËÒ¡ Œ=− {3,0.5, 2,4.1}U¨aä´ Œ= V{3,0.5,4.1}æµ¶Ò ‹ Œ= Ue«µ¢o§¨Ò¹Ç¹eµçÁ ¨aä´íŒ= V{0,1,2,3,...}** ´Â·Ç件ÒäÁä´Ãaºeo¡À¾ÊÁ¾·¸ ã˶oÇÒeo¡À¾oa 茋 Œua aŒ ื ‹ÊÁ¾·¸e»¹e«µ·ãË ·ÕèÊ´e·Ò·¨ae»¹ä»ä´ a a šÕè­ ‹u‹Õ蚌(¶Òe»¹e«µ¢o§¨Ò¹Ç¹ ã¹Ãa´º Á. ã˶oÇÒ ãË ·ÕèÊu´Œ šía4Œ ื ‹­ ‹¤oe«µ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´æ ÅaãªÊ šɳe»¹e«µืíæŒ ­a a šR ) 12. ʺe«µ (ËÃoe«µÂoÂ) “ a”ื‹e«µ e»¹Êºe«µ¢o§ ¡çµoeÁèo ÊÁÒªi¡·¡µÇ¢o§e«µ BšaA‹ ืuaB oÂã¹ ´Ç ËÃoeÁèo e»¹e«µÇÒ§¡çä´ Ù ‹AŒื ืBš‹Œ(ËÃo¾Ù´§ÒÂæ ÇÒ Êºe«µ¤o e«µ·eÅ¡¡ÇÒËÃoe·Ò¡¹ ) ื‹‹aื “Õèç‹ื ‹a”

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 12 e«µ ¨aäÁe»¹Êºe«µ¢o§ ¶ÒËÒ¡¾ºÇÒÁÕÊÁÒª¡ºÒ§B‹ šaAŒ‹iµÇ¢o§ äÁä´oÂã¹ aB‹ Œ ‹ÙAµÇoÂÒ§ ¶ÒãË a‹Œ Œ=W{k,n,y,p} ¨aä´ÇÒe«µeËÅÒ¹e»¹Œ ‹‹ÕéšÊºe«µ¢o§ aW∅{k}{n}{y}{p}{k,n} {k,y} {k,p} {n,y} {n,p}{y,p}{k,n,y}{k,n,p}{k,y,p}{n,y,p}{k,n,y,p}ÃÇÁ·§ËÁ´ ºº a é16æ** e«µÇÒ§e»¹Êºe«µ(·eÅ¡·ÕèÊ´)¢o§·¡e«µ ‹šaÕèçuuæÅae«µ·¡e«µe»¹Êºe«µ(·ãË ·ÕèÊ´)¢o§µÇeo§ ušaÕè­ ‹ua13. Ê Å¡É³·ãª ·¹»Ãa ¤ e»¹Êºe«µ¢o§ a a­ÕèŒæo“ BšaA ”¤o ื⊂BAæÅaÊ Å¡É³·ãª ·¹»Ãa ¤ äÁe»¹Êºe«µ¢o§ a a­ÕèŒæo“ B‹ šaA ”¤o ื⊄BAµÇoÂÒ§ ¶ÒãË a‹Œ Œ=W{k,n,y,p}¶Ò Œ= X{k,y} ¨aä´ÇÒ Œ ‹⊂XWæµ¶Ò ‹ Œ= Y{k,m,p} ¨aä´ÇÒ Œ ‹⊄YW

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 13 14. Çi¸µÃǨÊoº¡ÒÃe»¹Êºe«µoÂÒ§§ÒÂæ ãË »Å՚a‹ ‹Œæ¤ÇÒÁËÁÒ´§¹.. ¨Ò¡ aÕéΔΟ ⊂ ,{,, }A¨a »ÅÇÒ æ‹∈,A Åa æΔ∈A Åa æΟ∈A(µo§¶Ù¡·§ÊÒÁe§o¹ä¢¡o¹ ¨§ÊÃu»ä´ÇÒ Œa éื è‹ึŒ ‹ΔΟ ⊂ ,{,, }A) µÇoÂÒ§ ¶ÒãË a‹Œ Œ=∅Z{ ,1,{2,3}} ¢o¤ÇÒÁµo仹Õé¶Ù¡Œ‹ËÃo¼´ ืi∈ 1Z .. ¶Ù¡ ⊂1Z .. ¼´ (e¾ÃÒa äÁãªe«µ) i1‹ ‹∅∈Z .. ¶Ù¡ ∅⊂Z .. ¶Ù¡eÊÁo! ∈2Z .. ¼´ i(e¾ÃÒae«µÇÒ§e»¹Êºe«µ¢o§·u¡e«µ)‹ša∈{2,3}Z.. ¶Ù¡ ⊂{2,3}Z .. ¼´ i(e¾ÃÒa ¡º äÁä´oÂã¹ ) 2a3‹ Œ ‹ÙZ15. e«µ·ÕèÁÕÊÁÒª¡ µÇ ina¨aÁÕʺe«µµÒ§æ ¡¹·§Ê¹ ºº a‹a aéién2æµÇoÂÒ§ ¶ÒãË a‹Œ Œ=W{k,n,y,p} ÅÇ æ ŒW ¨aÁÕʺe«µ·e»¹ä»ä´·§ËÁ´ aÕ蚌a é= 4216 ºº æ(ËÃo ÁÕe«µ ·Õè·ÒãË ืX“íŒ⊂XW ” o e«µ ¹¹eo§) Ù ‹16a èµÇoÂÒ§ ¶ÒãË a‹Œ Œ= A{2,4} Åa æ=B{1,2,5,4,9}¨aÁÕe«µ ·Õè·ÒãË C “íŒ⊂ ⊂ ACB ” o¡Õè ºº? Ù ‹æ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 14 e¹o§¨Ò¡ ื è⊂AC ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒã¹ µo§ÁÕ Åa ‹CŒ2æ4æÅa¨Ò¡ ⊂CB ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒã¹ ¨aÁÕ ‹C1, 5, 9 oÂÙ ‹ËÃoäÁ¡çä´.. ¹¹¤o ื‹Œa èื= C{2,4}ËÃo ื= C{2,4,1,5} ËÃo ื= C{2,4,1}ËÃo ื= C{2,4,1,9} ËÃo ื= C{2,4,5}ËÃo ื= C{2,4,5,9} ËÃo ื= C{2,4,9}ËÃo ื= C{2,4,1,5,9}..¨§e·ÂºÇi¸ä´eËÁo¹¡ÒÃËÒʺe«µ¢o§ ึÕՌืa{1,5,9}«è§¨aÁÕ·§ËÁ´ ึa é= 328 ºº¹¹eo§ æa è** e«µ·¡e«µ¨aÁÕʺe«µeÊÁo uaæ æÁ µ «è§e»¹e«µ·eÅ¡·ÕèÊ´ ¡ç§ÁÕʺe«µo Œ ‹∅ึ šÕèçuaaÙ ‹= 021溺 «è§¡ç¤o (µÇÁ¹eo§) ึื∅a a16. e¾ÒeÇoÃe«µ ¤oe«µ·ºÃèu´ÇÂʺe«µ·§ËÁ´·“ ” ืÕèŒaa éÕèe»¹ä»ä´.. e¾ÒeÇoÃe«µ¢o§ ¨aãªÊ šɳÇÒ šŒAŒ ­a a ‹P(A)µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= Y{k,n,p} ¨aä´ Œ=∅P(Y),{k},{n},{p},{k,n},{k,p},{n,p}, {{k,n,p}}

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 15 ** ¶Ò ÁÕÊÁÒª¡ µÇ ÅÇ ŒAina æŒP(A) ÂoÁÁÕÊÁÒª¡ ‹in2µÇ (e¾ÃÒaÊÁÒª¡¢o§ aiP(A) ¡ç¤oʺe«µ·§ËÁ´¢o§ ) ืaa éAµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= X{k,y} ãËËҨҹǹÊÁÒª¡¢o§ ŒíiP(P(X)) ÅaãËe¢Õ¹ ¨¡ ¨§ÊÁÒª¡´Ç æŒæ æiŒe¹o§¨Ò¡ ื èP(X) ÁÕÊÁÒª¡ i= 224 µÇ a´§¹¹ a aéP(P(X)) ÂoÁÁÕÊÁÒª¡ ‹i= 4216 µÇ a¨Ò¡ {}=∅P(X),{k},{y},{k,y}¨§ä´ÇÒ ึ Œ ‹=∅∅P(P(X)), { }, {{k}}, {{y}}, {∅∅∅{{k,y}}, { ,{k}}, { ,{y}}, { ,{k,y}},{{k},{y}}, {{k},{k,y}}, {{y},{k,y}},∅∅∅{ ,{k},{y}}, { ,{k},{k,y}}, { ,{y},{k,y}},∅{{k},{y},{k,y}}, { ,{k},{y},{k,y}}}17. ¨Ò¡¤ÇÒÁËÁÒ¢o§e¾ÒeÇoÃe«µ ¨§·ÃÒºÇÒ ึ‹»Ãa ¤ oΔ∈,{, }P(A) »ÅÇÒ æ‹Δ⊂,{, }A( Åaeª¹e´iÁ »Ãa ¤ æ‹oΔ⊂,{, }A »Åä´o¡ÇÒ æŒÕ‹∈,A Åa æΔ∈A) µÇoÂÒ§ ¶ÒãË a‹Œ Œ=∅Z{ ,1,{2,3}} ¢o¤ÇÒÁµo仹Õé¶Ù¡Œ‹ËÃo¼´ ืi

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 16 A B A B A B B A ∈1P(Z) .. ¼´ ( äÁãªe«µ¨§oÂã¹ i1‹ ‹ึÙ ‹P(Z) äÁä´) ‹ Œ∈{1}P(Z) .. ¶Ù¡ e¾ÃÒa ⊂{1}Z∅∈P(Z) .. ¶Ù¡ e¾ÃÒa ∅⊂Z∅∈{}P(Z) .. ¶Ù¡ e¾ÃÒa ∅⊂{}Z∈{2,3}P(Z) .. ¼´ e¾ÃÒa i⊄{2,3}Z∈{{2,3}}P(Z) .. ¶Ù¡ e¾ÃÒa ⊂{{2,3}}Z18. ¡Òà ʴ§e«µ´Ç ¼¹ÀÒ¾¢o§eǹ¹ ÅaooÂeÅoà ¨aãËæŒææŒeo¡À¾ÊÁ¾·¸e»¹¡ÃoºÊeËÅÂÁ·ãË ·ÕèÊ´ ÀÒÂ㹺Ãèa a šÕèÕèÕè­ ‹uuÃÙ»»´ (ǧ¡ÅÁ ǧÃÕ ÊÒÁeËÅÂÁ ÏÅÏ) ·ãª ·¹¢oºe¢µÕèÕèŒæ¢o§e«µ A, B, C µÒ§æ ‹e«µ e«µ (eª¹2‹A, B) ¨ae¡ÕèÂÇ¢o§¡¹ä´ ÃÙ» ºº´§¹ ŒaŒ5æaÕé äÁÁÕÊÁÒª¡ÃÇÁ¡¹eÅ ÁÕÊÁÒª¡ÃÇÁ¡¹ºÒ§Êǹ ‹i‹ai‹a‹ e»¹Êºe«µ¢o§ e»¹Êºe«µ¢o§ AšaBBšaA

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 17 A B Åa e·Ò¡¹ AæB‹a** ´Â·Ç件ÒäÁ·ÃÒºÃÙ» ººª´e¨¹ ¤ÇÃe¢Õ¹ ¼¹ÀÒ¾oa 茋æaæãËÁÕÊÁÒª¡ÃÇÁ¡¹ºÒ§Êǹ¡o¹ (e»¹ÃÙ»Áҵðҹ) Ånji‹a‹‹šæ Œ¨§oÒÈ¢oÁÙÅo¹æ e¾èoãË·ÃÒº¨Ò¹Ç¹ÊÁÒª¡¢o§ µÅaึaŒื èืŒíiæ ‹ª¹Êǹ «è§oÒ¨¾ºÇÒºÒ§ªié¹ÊǹäÁÁÕÊÁÒª¡eÅ¡çe»¹ä»ä´ ié‹ึ‹‹‹išŒ19. ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒÃe¡ÕèÂÇ¡ºe«µ ä´ ¡ Âe¹Â¹, o¹eµoÃe«¡iaŒ ‹æÙÕiª¹, ¤oÁ¾ÅeÁ¹µ, Åa¼ÅµÒ§¢o§e«µ e»¹¡Ò÷ÒãËe¡i´aՏ拚íŒe«µãËÁ¢é¹¨Ò¡e«µ·ÕèÁÕoÂe´iÁ ‹ ึÙ ‹Âe¹Â¹ ... Âe¹Â¹¢o§ Åa e¢Õ¹e»¹ ÙÕÙÕA æBš∪AB¤oe«µ¢o§ÊÁÒªi¡·§ËÁ´¢o§ ¡º ืa éAaB(e·Âºe»¹¤íÒÀÒÉÒä·Âä´ÇÒ ËÃo ) ՚Œ ‹ “AืB ”o¹eµoÃe«¡ª¹ ... e¢Õ¹e»¹ iaš∩AB ËÃo ืAB¤oe«µ¢o§ÊÁÒªi¡µÇ·»ÃÒ¡¯«éíÒ¡¹ã¹ Åa ืaÕèaAæB(e·Âºe»¹¤íÒÀÒÉÒä·Âä´ÇÒ Åa ) ՚Œ ‹ “AæB ”µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= A{2,3,5,7}æÅa =∅B{ ,1,2,{3,4},5}

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 18 ¨aä´ Œ∪ =∅AB{ ,1,2,3,5,7,{3,4}}æÅa ∩ = AB{2,5}¢oʧe¡µ Œa∪ = ∪ABBA , A∩ = ∩ BBA eÊÁo æÅa¤Ò¢o§ ‹∪ + ∩ = +n(AB)n(AB)n(A)n(B)eÊÁo ¤oÁ¾ÅeÁ¹µ ... ¤oÁ¾ÅeÁ¹µ¢o§ e¢Õ¹e»¹ ՏՏAšA'¤oe«µ¢o§ÊÁÒªi¡·eËÅoã¹ ืÕèืU «è§äÁä´oÂã¹ ึ ‹ Œ ‹ÙA¼ÅµÒ§ ... e«µ ‹−BA ¤oe«µ¢o§ÊÁÒªi¡·oÂã¹ µäÁืÕèÙ ‹Bæ‹ ‹oÂã¹ ... ÊÒÁÒöe¢Õ¹ä´oÕ¡ ººÇÒ Ù ‹AŒæ‹∩BA'µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= A{2,3,5,7}æÅa =∅B{ ,1,2,{3,4},5}o´Â·Õè =∅{ ,1,2,3,4,5,6,7,{1,2},{3,4},(5,6)}U¨aä´ Œ=∅A '{ ,1,4,6,{1,2},{3,4},(5,6)}æÅa = B '{3,4,6,7,{1,2},(5,6)}¢oʧe¡µ ¤Ò¢o§ Œa‹+= n(A)n(A')n( )U eÊÁo µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ= A{2,3,5,7}æÅa =∅B{ ,1,2,{3,4},5}¨aä´ Œ−=∅BA{ ,1,{3,4}}æÅa − = AB{3,7}

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 19 20. ¤Ò¢o§ ‹−= − ∩n(B A)n(B)n(AB) eÊÁo æÅa¤Ò¢o§ ‹−= − ∩n(A B)n(A)n(AB) eÊÁo (ËÒÁ¤i´¨Ò¡ Œ−n(B)n(A) ËÃo ื−n(A)n(B) e¾ÃÒao´Â·Çä»Á¡¨a¼´) a èaiµÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ=n(B)9 Åa æ=n(A)4¨a§¡ÅÒÇäÁä´ÇÒ a‹‹ Œ ‹−=−= n(B A)9 45e¾ÃÒaÊÁÒª¡¢o§ ·§ÊÕèµÇ¹¹oÒ¨äÁä´oÂã¹ ·§ËÁ´ iAa éa aé‹ Œ ‹ÙBa é¨aµo§·ÃÒº¡o¹ÇÒ Œ‹‹∩n(AB) e·Ò¡ºe·Òã´ ‹a‹eª¹¶Ò ‹ Œ∩ = n(AB)3 ¡ç¨aÊÃu»ä´ÇÒ Œ ‹−=−=n(B A)9 36 Åa æ−=−=n(A B)4 31µÇoÂÒ§ ¶Ò a‹Œ=∅C{,0,3,{0,3},{0,{3}} }ãËËҨҹǹÊÁÒª¡¢o§e«µ Œíi−P(C)CäÁ¤Çäi´ ´Â ‹o− = 52527 e¾ÃÒaÊÁÒª¡¢o§ oÂã¹ iCÙ ‹P(C) äÁ¶§ µÇ µoÂe¾Õ§ µÇ ¤o ¡º ‹ ึ5a æ‹ ‹Ù2aื∅ a{0,3}´§¹¹¤íÒµoº¨§e·Ò¡º a aéึ ‹a− = 5223021. ¢oʧe¡µ·¤Ç÷ÃÒº ŒaÕè∅= 'U∩ =∅ AA'=∅' U∪ = AA'U⊂∪ A(AB)−=∅ AU

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 20 A B งก ข คU⊂∪ B(AB)−=AA'U∩ ⊂ (AB)A−∅ =AA∩ ⊂ (AB)B∅−= ∅ A−=∅ AA** ¶Ò Œ− =∅ AB ÅÇ äÁ¨Òe»¹·ÕèÇÒ æ Œ‹íš‹= AB(¶Ò Œ= AB ÂoÁ·ÒãË ‹íŒ− =∅ AB ¹¹o¹ æ ‹æ aµÂ§ÁաóÕo¹æ o¡ ¤oeÁèoäáçµÒÁ·Õè ‹ื èÕื ื⊂AB ¡çä´) Œ22. ÊÁºµ¢o§¤oÁ¾ÅeÁ¹µ Åa¡Òà ¨¡ ¨§ aiՏææ æ∪=∩(AB)'A'B '∩=∪(AB)'A'B '∩ ∪ =∩ ∪ ∩A(BC)(AB)(AC)∪ ∩ =∪ ∩ ∪A(BC)(AB)(AC)23. ¨·Â» ËÒ·e»¹e˵¡Òó ¨a㪠¼¹ÀÒ¾eǹ¹-ooÂo ˜­ÕèšuŒæeÅoà ªÇÂ㹡Òäíҹdzªié¹ÊǹµÒ§æ µã¹¢oÊoºÁ¡ ‹‹‹æ ‹Œaµ§ã¨ãËãªÊµÃ㹡ÒÃËҨҹǹÊÁÒªi¡ µÅaª¹Êǹ´§¹ a éŒ ŒÙíæ ‹ié‹aÕé** ÊÒËú e«µ ía2∪ = + − ∩n(AB)n(A)n(B)n(AB)

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 21 A B 18 16 µÇoÂÒ§ 㹨ҹǹ¹¡eÃÕ¹ ¤¹ ÇÒ¹Òe»¹ ¤¹ a‹ía73‹éíš45æÅa¢ºÃ¶e»¹ ¤¹ äÁe»¹eÅ·§Êo§oÂÒ§ ¤¹ aš26‹ ša é‹18¶ÒÁÇÒÁÕ¹¡eÃÕ¹·Õè ‹a ÇÒ¹Òe»¹ Åa¢ºÃ¶e»¹ o¡Õ褹 • “ ‹éíšæaš ”Ù ‹ ÇÒ¹Òe»¹ËÃo¢ºÃ¶e»¹ o¡Õ褹 • “ ‹éíšืaš ”Ù ‹ãË ŒU ·¹¹¡eÃÕ¹¨Ò¹Ç¹ ¤¹¹ æaí73ÕéA ·¹e«µ¢o§¹¡eÃÕ¹·ÕèÇÒ¹Òe»¹ ( ¤¹) æa‹éíš45æÅa ·¹e«µ¢o§¹¡eÃÕ¹·Õ袺öe»¹ ( ¤¹) Bæaaš26“ ‹ šäÁe»¹eÅ·§Êo§oÂÒ§ ¤¹ ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ a é‹18”‹ª¹Êǹ §. ÁըҹǹÊÁÒª¡e·Ò¡º ié‹íi‹a18´§¹¹ ªié¹Êǹ ¡, ¢, ¤ («è§¡ç¤o a aé‹ึื∪AB) µo§ÁÕÊÁÒªi¡ŒÃÇÁ¡¹e·Ò¡º a‹a−=73 1855¨§ ·¹ã¹ÊµÃ ึæÙ∪ = + − ∩n(AB)n(A)n(B)n(AB)ä´e»¹ Œ š=+− ∩554526n(AB)´§¹¹ a aé∩ = n(AB)16ÊÃu»ÇҨҹǹ¹¡eÃÕ¹·Õè ‹ía“ ‹ÇÒ¹éíÒ Åa¢ºÃ¶e»¹ æaš ”¡ç¤o ื∩ = n(AB)16 ¤¹ æÅa¨Ò¹Ç¹¹¡eÃÕ¹· íaÕè“ ‹ÇÒ¹ÒËÃo¢ºÃ¶e»¹ ¡ç¤o éíืaš ”ื∪ = n(AB)55 ¤¹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 22 A B yxz ? C ** ÊÒËú e«µ ía3∪∪=++−∩n(ABC)n(A) n(B) n(C) n(AB)−∩−∩+∩∩n(AC) n(BC) n(ABC)µÇoÂÒ§ ¨Ò¡¡ÒÃÊÒÃǨ¼¿§e¾Å§ a‹íٌ ˜180 ¤¹ ¾ºÇÒÁÕ¼ªoº‹Ù Œe¾Å§ä·ÂÊÒ¡Å ¤¹ e¾Å§ä·Âe´iÁ ¤¹ ÅaÅ¡·§ 9592æÙu ‹125 ¤¹ ´Â º§e»¹ ¼ªoº·§e¾Å§ä·ÂÊÒ¡Å Åaä·Âe´iÁ o æ‹ šÙ Œa éæ52 ¤¹ ·§e¾Å§ä·ÂÊÒ¡Å ÅaÅ¡·§ ¤¹ ·§e¾Å§ä·Âa éæÙu ‹43a ée´iÁ ÅaÅ¡·§ ¤¹ Åa·¡¤¹¨aªoº¿§e¾Å§oÂÒ§¹oÂæÙu ‹57æu˜‹ŒË¹§ã¹ÊÒÁ»ÃaeÀ·¹ ãËËҨҹǹ¼·ªoºe¾Å§ä·ÂÊÒ¡Åึ èÕéŒíÙ ŒÕèe¾Õ§oÂÒ§e´ÕÂÇ ‹ãË ŒA, B, C ·¹e«µ¢o§¼ªoº¿§e¾Å§ä·ÂÊÒ¡Å, æÙ Œ˜ä·Âe´iÁ, ÅaÅ¡·§ µÒÁÅÒ´º æÙu ‹ía»Ãa ¤ ·¡¤¹¨aªoº o“ u¿§e¾Å§oÂÒ§¹oÂ˹§ã¹ ˜‹Œึ èÊÒÁ»ÃaeÀ· ËÁÒ¤ÇÒÁ ”ÇÒ ‹∪∪=n(ABC) 180æ oÅa ¨·Â¢o¹µÃ§µÒÁʵà e«µ ¨§ ·¹¤Òä´´§¹Õé  ŒÕéÙ3ึ拌a=++ −−−+1809592125524357x¨aä´ Œ= x20 ¤¹

พื้นฐาน บทท เซตี่ 1 23 浤íÒ¶ÒÁ¤o ¨Ò¹Ç¹¼·ªoºe¾Å§ä·ÂÊÒ¡Åe¾Õ§oÂÒ§e´ÕÂÇ ‹ืíÙ ŒÕ苨§µo§ËÒ¤Ò Åa ã¹ÀÒ¾¡o¹ ึ Œ‹yæz‹o´Â = ∩−=−=yn(AC) x432023 ¤¹ æÅa =∩−=−=zn(AB) x522032 ¤¹ ´§¹¹ ¨Ò¹Ç¹¼·Õèªoºe¾Å§ä·ÂÊÒ¡Åe¾Õ§oÂÒ§e´ÕÂÇ a aéíÙ Œ‹e·Ò¡º ‹a−−−=9520233220 ¤¹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 24 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .4 เทอม 1 บทที่ 2การใหเหตุผล1. ¡ÒÃãËe˵¼Å ¤o¡ÒáÃa·Òe¾èoËÒ¢oÊÃu» ËÃoe¾èoŒuืíืŒืืʹºÊ¹¹¢oÊÃu» «è§¶oe»¹¡ÃaºÇ¹¡Ò÷ÕèÊÒ¤ ã¹·Ò§auŒึ ืšía­µÃáÈÒʵà ¡ÒÃãËe˵¼ÅÁÕo šɳa ä´æ¡ ¡ÒÃãˏŒuÙ ‹2aŒ ‹Œe˵¼Å溺o»¹Â æÅa溺¹Ã¹Â uuaia2. ¡ÒÃãËe˵¼Å溺o»¹Â Œuua e»¹¡ÒÃ㪢oÁÙŨҡÊǹ»Ãa¡oºÂo e¾èo¹Òä»Ê• šŒ Œ‹‹æืíÙ ‹¢oÊÃu»¢o§ÊǹÃÇÁ Œ‹ e»¹¡ÒÃÊÃu»¼Å·¨ae¡i´¢é¹ã¹o¹Ò¤µ «è§ÁÒ¨Ò¡¡ÒÕ šÕèึึʧe¡µæ¹Ç ¹Á¨Ò¡o´Õµ ËÃo¨Ò¡¡Ò÷´Åo§«éíÒËÅÒ¤Ãé§ aoŒืaµÇoÂÒ§ ¢o¤ÇÒÁµo仹e»¹¡ÒÃãËe˵¼Å溺 o»¹Â a‹Œ‹Õ隌u“ ua” ¨Ò¡¡ÒÃʧe¡µÇÒã¹·¡eªÒ¾ÃaoÒ·µÂ¢é¹·Ò§·iȕa‹uŒi ึµaǹoo¡ ¨§ÊÃu»ÇÒ¾ÃaoÒ·µÂ¨a¢é¹·Ò§·Èµaǹoo¡aึ‹iึiaeÊÁoã¹Ç¹µo ä» a‹æ ¨Ò¡¡ÒÃʧe¡µeËç¹ÇÒ ÅÒ¹iéÇÁo¢o§Ë¹è§¾¹¤¹ÁՕa‹ืึašɳaµÒ§¡¹ ¨§ÊÃu»ÇÒ¤¹·¡¤¹º¹ Å¡ÁÕÅÒ¹ÇÁoäÁa‹aึ‹uoiéื‹eËÁo¹¡¹eÅ ืa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 26 e¾èo¹ºÒ¹·¡¤¹Åǹºo¡ÇÒËÁo¤¹¹ÕéáÉÒ´ÕÁÒ¡ eÁèo• ืŒuŒ‹aืÊÁªÒÂäÁʺÒ¨§ä»ËÒËÁo¤¹¹ e¾ÃÒae¢ÒÊÃu»ä»ÇÒµ¹eo§‹ึÕ鋡ç¨aä´Ãº¡ÒÃáÉÒãËËÒ´Õeª¹¡¹ ŒaaŒ‹a3. ¢o¤ÇÃÃaǧ¤o ¢oÊÃu»·ä´¨Ò¡¡ÒÃo»¹ÂäÁ¨Òe»¹µo§ŒaืŒÕèŒua‹íš Œ¶Ù¡µo§·¡¤Ãé§ e¹o§¨Ò¡e»¹¢ÂÒ¼ÅÊÃu»e¡i¹oo¡ä»¨Ò¡Êi觌uaื 蚷e˹ (eËÁo¹e»¹¡Ò÷¡·¡ »¡ã¨eªo ʧ·oÂÕèçืšึa˜ื èièÕèÙ ‹¹o¡e˹o仨ҡ¢oÁÙÅ·ÕèÁÕ) ืŒµÇoÂÒ§ eª¹ ÊÁ˺šºoÅoo¡¨Ò¡¶u§ ä´Å¡ºoÅÊæ´§a‹‹u ‹iٌÙÕµ´¡¹ ¤Ãé§ ¨§ÊÃu»æººo»¹ÂeoÒÇÒÅ¡ºoÅ·¡Å¡ÁÕÊia4aึua‹ÙuÙÕæ´§ «è§oÒ¨¼´¡çä´ ึiŒ4. ¶§æÁ¡ÒÃo»¹Â¨aäÁÊÒÁÒöã˼ŷÕè¶Ù¡µo§ ึŒua‹ŒŒ100% ä´ Œæµ¡çÊÒÁÒö·¨aÊÃu»ã˹Òeªo¶oÁÒ¡ §¢é¹ä´ «è§Ê§·‹ÕèŒ ‹ ื ืèæièึŒ ึièÕè¤ÇäíÒ¹§e¾ÃÒaÁռŵo¤ÇÒÁ¹Òeªo¶oä´æ¡ ึ‹‹ ื ืèŒ ‹ »ÃiÁÒ³¢oÁÙÅ·ÕèÁÕe¾Õ§¾oËÃoäÁ •Œื‹ ¢oÁÙŷ㪹¹e»¹µÇæ·¹·Õè´ÕÁÕ¤u³ÀÒ¾ËÃoäÁ • ŒÕèŒa éšaื‹µÇoÂÒ§ eª¹ a‹‹ 㹡ÒÃÊÁ˺šºoÅä´Êæ´§µ´¡¹ËÅÒ¤Ãé§ ¨§ÊÃu»•u ‹iٌÕiaaึeoÒÇÒºoÅ·¡Å¡ÁÕÊæ´§ ¶ÒÊÁä´Êæ´§µ´¡¹ ¤Ãé§æÅNjuÙՌ ‹uŒÕia20aŒ¤oÂÊÃu» ¡çÂoÁÁÕ¤ÇÒÁ¹Òeªo¶oÁÒ¡¡ÇÒ ¤Ãé§ ‹‹‹ ื ืè‹4a

พื้นฐาน บทท การใหเหตุผลี่ 2 ้27 ÊÁÁµ°Ò¹ •i−+> (n 1)2(n 1)2 eÊÁo ÊÒËú¨Ò¹Ç¹íaí¹º ã´ an澺ÇÒeÁèoæ·¹ ‹ ื=n 1,2,3,4 Åǹ䴼Åe»¹¨Ãi§ 海淌Œš‹ÕèŒÊÁÁµ°Ò¹¹¨ae»¹e·¨ eÁèoæ·¹ iÕéšçื=n 7,8,9,... e»¹µ¹š Œä» ´§¹¹¨§¤ÇáµÇoÂÒ§e¾èoµÃǨÊoºã¹»ÃiÁÒ³ÁÒ¡a aéึa‹ื¾oÊÁ¤Çà ÊÁ¶ÒÁ¤¹ • ‹u100 ¤¹ã¹ºÃiedzÊÂÒÁÊæ¤Çà ¾ºÇÒÁՏ‹oÒÂäÁe¡i¹ »¶§ ¤¹ ¨§ÊÃu»æººo»¹ÂÇÒ ã¹u‹22‚ ึ70ึua‹¡Ãu§e·¾Ï ÁÕ»ÃaªÒ¡ÃÇÂÃu¹¨Ò¹Ç¹ÁÒ¡¡ÇÒÇ·ҧҹoÂa‹í‹aíÙ ‹e·ÒµÇ «è§oÒ¨e»¹¢oÊÃu»·Õè¼´ e¾ÃÒa¶§æÁ»ÃiÁÒ³¢oÁÙŋaึš ŒiึŒŒ¨aÁÒ¡e¾Õ§¾oæÅÇ æµ¢oÁÙÅeËÅÒ¹e»¹µÇæ·¹·äÁ´Õ¹¡ Œ‹ Œ‹ÕéšaÕè‹a(¤ÇèaÊÁÊÒÃǨãË·Ç¡Ãu§e·¾Ï ¨§¨a¹Òeªo¶oÁÒ¡¡ÇÒ) u ‹íŒa èึ‹ ื ืè‹5. ¢oÊÃu»ã¹ºÒ§eÃèo§ÁÕ¤ÇÒÁ«º«o¹e¡i¹¡ÇÒ·¨aÊÃu»´ÇŒืaŒ‹ÕèŒÇi¸Õo»¹Âä´ ¹¹¤o¢oÊÃu»·e¡ÕèÂÇ¡º¤ÇÒÁ¹¡¤i´¢o§Á¹É uaŒa èื ŒÕèaึueª¹ ¤ÇÒÁeªèo (Å·¸, ÈÒʹÒ, ʧ·È÷¸Ò) ¤ÇÒÁªoº ‹ืaiièÕèa(¡ÒÃeÁo§, ´ÒÃÒ, ·Á¿µºoÅ ÏÅÏ) «è§Á¡¨a¢é¹¡ºe˵u¼ÅืÕuึaึaÊǹº¤¤Å·æµ¡µÒ§¡¹ä» ‹uÕè‹aµÇoÂÒ§ eª¹ ¡ÒÃËÒ¢oÁÙÅe¾èoÊÃu»ÇÒ¹Ò§§ÒÁ¤¹ã´ÊÇ¡ÇÒa‹‹Œื‹‹¡¹ ¶§æÁ¨aä´¢oÁÙÅ»ÃiÁÒ³ÁÒ¡e¾Õ§㴠æÅa¢oÁÙÅe»¹µÇaึŒŒ ŒŒšaæ·¹·Õè´Õe¾Õ§㴠¡çäÁÊÒÁÒöãË¢oÊÃu»·Õè¹Òeªo¶oä´ ‹Œ Œ‹ ื ืèŒe¹o§¨Ò¡¤ÇÒÁÊǧÒÁe»¹Ê§·Õ赴ʹ¨Ò¡¤ÇÒÁeªèoÊǹื èšièaiื ‹

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 28 º¤¤Å äÁÁÕe¡³±Ç´·e»¹ÁҵðҹÇÒoÂÒ§ääoÊÇ æÅau‹aÕ蚋‹ื溺ã´ÊÇ¡ÇÒ溺㴠‹6. ¡ÒÃãËe˵¼Å溺o»¹Âã¹ÇiªÒ¤³iµÈÒʵà ·¾ººoŒuuaÕè‹ÁÒ¡¤o ¡Ò÷ҹÒÂÇÒ¤Ò¢o§ÅÒ´º·ÅaäǴǨ´¨´¨´ ืí‹ ‹íaÕèŒ Œuuu( ) ¹¹ÁÕ¤Òe»¹e·Òã´ ...a é‹ š‹µÇoÂÒ§ a‹ ã¹e«µ •= A{2,4,6,8,10,...}ÊÁÒª¡µÇ·ÅaäǹҨaËÁÒ¶§ iaÕèŒ ‹ึ12,14,16,... ÅÒ´º •ía1,3,7,15,31,...¾¨¹¶´ä»¹Ò¨ae»¹ a‹š63(·Ò¹Ò¨ҡæ¹Ç ¹Á¢o§¼ÅµÒ§ÃaËÇÒ§¾¨¹µ´¡¹) íoŒ‹‹ia o¹¡ÃÁ •u−+− +1111...24816ÊÒÁ¾¨¹¶´ä»¹Ò¨ae»¹ a‹š+−+ 1113264128** ¡ÒÃãËe˵¼Å溺o»¹Âã¹Å¡É³aoè¹ eª¹Œuuaaืæ‹æºº·´Êoºäo¤iÇ («è§ÁÕÃÙ»ÀÒ¾µoe¹o§e»¹ ¨·Â æÅÇãËËÒึ‹ื èšoŒŒÀÒ¾¶´ä»), ¤ÇÒÁÁËȨÃâo§¡Òúǡź¤Ù³ËÒÃaa¨Ò¹Ç¹ («è§ÊÒÁÒöe¢Õ¹ÊÁ¡Òö´ä»ä´¶Ù¡µo§ ´ÂäÁíึaŒŒo‹µo§oÒÈÂe¤Ãèo§¤i´eÅ¢), ¡ÒáµÇoÂҧ㹻ÃiÁÒ³ÁÒ¡ Œaืa‹æe¾èo·´ÊoºÊÁÁµ°Ò¹ ¡o¹¨aµ´Ê¹ã¨eªo ืi‹aiื è

พื้นฐาน บทท การใหเหตุผลี่ 2 ้29 7. ¡ÒÃãËe˵¼Å溺¹Ã¹Â Œuia e»¹¡ÒÃ㪤ÇÒÁ¨Ãi§¢o§ÊǹÃÇÁËÃo¢o§¡ÅÁ e¾èo• šŒ‹ืu ‹ื¹Òä»Ê¢oÊÃu»¢o§Êǹ»Ãa¡oºÂo ËÃoÊÁÒªi¡ã¹¡ÅÁ íً Œ‹‹æืu ‹ ¢oÊÃu»·ä´¨Ò¡¡Òùù ¨a¶Ù¡µo§eÊÁo (eÁèo¡ÒÕ ŒÕèŒiaŒืÊÃu»¹¹ÁÕ¤ÇÒÁÊÁe˵ÊÁ¼Å) a éuµÇoÂÒ§ ¢o¤ÇÒÁµo仹e»¹¡ÒÃãËe˵¼Å溺 ¹Ã¹Â a‹Œ‹Õ隌u“ia” ¹¡eÃÕ¹·¡¤¹µo§·Ò¡Òúҹ æÅaÊ´Òe»¹¹¡eÃÕ¹ •auŒíŒuša´§¹¹¨§ÊÃu»ÇÒ Ê´Ò¡çµo§·Ò¡Òúҹ a aéึ‹uŒíŒ(ÊÁe˵ÊÁ¼Å) u äÁÁչҧ溺¤¹ã´e»¹¼ªÒ æÅa¾Ãaeo¡Ë¹§·¡¤¹• ‹š ŒÙaue»¹¼ªÒ ¨§ÊÃu»ÇÒäÁÁչҧ溺¤¹ã´e»¹¾Ãaeo¡Ë¹§ š ŒÙึ‹‹ša(ÊÁe˵ÊÁ¼Å) u ¤ÃÙºÒ§¤¹ªoº´èÁ¡Òæ¿ æÅa¼ªÒ·§ËÁ´ªoº´èÁ•ืÙ Œa éื¡Òæ¿ ¨§ÊÃu»ÇÒ¤ÃÙºÒ§¤¹e»¹¼ªÒ ึ‹š ŒÙ(äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å) ‹u8. ¡ÒÃãËe˵¼Å溺¹Ã¹ÂÁ¡¨a¡ÅÒÇã¹Ãٻ溺 ¡ÒÃoÒ§Œuia a‹“Œe˵¼Å ¤o¡ÒáÅÒÇÇÒ¶ÒÁÕe˵e»¹¢o¤ÇÒÁªu´Ë¹§ («è§u” ื‹ ‹ Œuš Œึ èึe»¹¨Ãi§) æÅÇ ÊÒÁÒöÊÃu»¼Åe»¹¢o¤ÇÒÁo¹Ë¹§ä´eÊÁo šŒš Œaึ Œè ¡ÒÃoÒ§e˵¼ÅÁÕ·§æºº·ÊÁe˵ÊÁ¼Å æÅaäÁ•Œua éÕèu‹ÊÁe˵ÊÁ¼Å u

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 30 µÇoÂÒ§ šɳa¡ÒáÅÒÇã¹Ãٻ溺 ¡ÒÃoÒ§e˵¼Å a‹a‹“Œu” e˵ ¹¡eÃÕ¹·¡¤¹µo§·Ò¡Òúҹ u1.auŒíŒ Ê´Òe»¹¹¡eÃÕ¹ 2.uša ¼Å Ê´Òµo§·Ò¡Òúҹ (ÊÁe˵ÊÁ¼Å) uŒíŒu e˵ ¤ÃÙºÒ§¤¹ªoº´èÁ¡Òæ¿ u1.ื ¼ªÒ·§ËÁ´ªoº´èÁ¡Òæ¿ 2.Ù Œa éื ¼Å ¤ÃÙºÒ§¤¹e»¹¼ªÒ (äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å) š ŒÙ‹u9. ¡ÒÃoÒ§e˵¼Å«è§ ÊÁe˵ÊÁ¼Å ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ e˵Œuึ “u”‹u¡º¼Å·ãËÁÒ¹¹ÁÕ¤ÇÒÁÊo´¤Åo§¡¹ aÕèŒa éŒa äÁä´ËÁÒ¤ÇÒÁÇҼŨae»¹¨Ãi§ã¹·¹· æµe˵u·¡¢o• ‹ Œ‹šaՋuŒµo§e»¹¨Ãi§¾ÃoÁ ¡¹¡o¹ ¼Å¨§¨ae»¹¨Ãi§¢é¹´Ç ŒšŒæ a‹ึšึ Œ(ËÃooÒ¨¡ÅÒÇÇÒ ¢oÊÃu»¨ae»¹¨Ãi§ÀÒÂãµe˵·ãËÁÒื‹‹ŒšŒuÕèŒe·Ò¹¹) ‹a é ´§¹¹¢oÊÃu»·ÊÁe˵ÊÁ¼Å äÁ¨Òe»¹µo§e¡i´¢é¹¨Ãi§•a aéŒÕèu‹íš Œึº¹ Å¡¡çä´ oŒµÇoÂÒ§ ¡ÒÃoÒ§e˵u¼Å¹Õé ÊÁe˵uÊÁ¼Å æÁÇҼŨaa‹Œ“”Œ ‹¢´æ§¡º¤ÇÒÁ¨Ãi§º¹ Å¡¡çµÒÁ! aŒao e˵ ʵǻ¡·¡µÇº¹ä´ u1.a ‚uaiŒ æÁǺҧµÇe»¹ÊµÇ»¡ 2.aša ‚ ¼Å æÁǺҧµÇº¹ä´! (ÊÁe˵ÊÁ¼Å) aiŒu

พื้นฐาน บทท การใหเหตุผลี่ 2 ้31 e˵ äÁÁÕÁ¹É¤¹ã´¡i¹æ¡Çä´ u1.‹uŒ Œ ÊÁªÒ¡i¹æ¡Çä´ 2.ŒŒ ¼Å ÊÁªÒÂäÁãªÁ¹ÉÂ! (ÊÁe˵ÊÁ¼Å) ‹ ‹uu** ã¹·Ò§¡Åº¡¹ ¢oÊÃu»·µÃ§¡º¤ÇÒÁ¨Ãi§º¹ Å¡¡çoÒ¨a aŒÕèaoe»¹¢oÊÃu»·Õè äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å ¡çä´ ¢é¹o¡ºe˵u·ãËÁÒ š Œ“ ‹u”Œ ึÙ ‹aÕèŒ(´§¹¹äÁ¤ÇÃãªËÅ¡¤ÇÒÁ¨Ãi§º¹ š㹡Òõ´Ê¹ æµãËa a鋌aoai‹ Œ¤i´¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾e«µe·Ò¹¹) ‹a é10. ¢o¤ÇÃÃaǧ¢o§¹Ã¹Â¤o ¶Ò㪤ÇÒÁÃÙÊ¡e¾Õ§¼Çe¼i¹ŒaiaืŒ ŒŒ ึioÒ¨¨a¤i´ÇÒ¡ÒÃÊÃu»¹¹ÊÁe˵ÊÁ¼Å ·§·¨Ãi§äÁ㪠‹a éua éÕè‹ ‹(´§¹¹¨§¤Çäi´¨Ò¡æ¼¹ÀÒ¾e«µe·Ò¹¹) a aéึ‹a éµÇoÂÒ§ ¡ÒÃoÒ§e˵¼Å¹Õé´Ù¤ÅÒ¨aÊÁe˵ÊÁ¼Å æµo¹·a‹ŒuŒu‹aÕè¨Ãi§ äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å “ ‹u” e˵ ¹¡·¡µÇº¹ä´ u1.uaiŒ oÕ¡Òºi¹ä´ 2.Œ ¼Å o¡Òe»¹¹¡ ՚(äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaoÒ¨ÁÕʧo¹·äÁ㪹¡æµº¹ä´) ‹uièื èÕè‹ ‹‹iŒ e˵ ¹¡·¡µÇº¹ä´ u1.uaiŒ ¤¹äÁ㪹¡ 2.‹ ‹ ¼Å ¤¹º¹äÁä´ i‹ Œ(äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaoÒ¨ÁÕʧo¹·äÁ㪹¡æµº¹ä´) ‹uièื èÕè‹ ‹‹iŒ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 32 ¹¡eÃÕ¹ a¤¹¢Â¹ a¹¡eÃÕ¹ ¤¹¢Â¹ aa¹¡eÃÕ¹ a¤¹¢Â¹ a¤¹¢Â¹ a¹¡eÃÕ¹ a e˵ ¤¹·Õè¡íÒŧeÊÕÂ㨷u¡¤¹¹è§Ão§äË u1.aaŒŒ ©¹¹§Ão§äË 2.a a茌 ¼Å ©¹¡íÒŧeÊÂ㨠aaÕ(äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaoÒ¨ÁÕ¤¹·äÁeÊÂã¨æµ´¹Ão§äË) ‹uÕè‹Õ‹aŒŒ11. ¡ÒõÃǨÊoº¤ÇÒÁÊÁe˵ÊÁ¼Å ÊÒÁÒö·Òä´oÂÒ§uíŒ ‹Ãoº¤oº ´Âãªæ¼¹ÀÒ¾e«µ (eǹ¹-ooÂeÅoÃ) ´ÂÇÒ´oŒoe˵u·¡¢oãËe»¹¨Ãi§¡o¹ uŒŒ š‹µÇoÂÒ§ e˵æµÅa¢o ¨ae¢Õ¹e»¹æ¼¹ÀÒ¾eǹ¹-ooÂeÅoÃa‹u‹Œšä´ã¹Å¡É³a¹Õé Œa äÁÁÕ¹¡eÃÕ¹¤¹ã´¢Â¹ ¹¡eÃÕ¹ºÒ§¤¹¢Â¹ ‹aaaa(ËÃo¹¡eÃÕ¹·¡¤¹äÁ¢Â¹) (ËÃo¹¡eÃÕ¹ºÒ§¤¹äÁ¢Â¹) ืau‹aืa‹a ¹¡eÃÕ¹·¡¤¹¢Â¹ ¤¹¢Â¹·¡¤¹e»¹¹¡eÃÕ¹ auaauša

พื้นฐาน บทท การใหเหตุผลี่ 2 ้33 ¤¹¢Â¹ aoÁà ¤¹¢Â¹ aoÁà ¹¡eÃÕ¹ a¤¹¢Â¹ a¹¡ ʧ·º¹ä´ ièÕèiŒo¡Ò Õ ¹¡eÃÕ¹·¡¤¹e·Ò¹¹·¢Â¹ au‹a éÕèa oÁÃe»¹¤¹¢Â¹ oÁÃe»¹¤¹·äÁ¢Â¹ šašÕè‹a¨Ò¡¹¹ã¹¢³a·e˵u·¡¢oe»¹¨Ãi§ ¾ÂÒÂÒÁÇÒ´ã˼Åe»¹a éÕèuŒšŒše·¨.. ¶Ò·Òä´ÊÒeÃ稨a¶oÇÒ¡ÒáÅÒǹÕé äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å çŒíŒíื ‹‹“ ‹u”浶ҷҼÅe»¹e·¨äÁä´eÅ ¨a¶oÇÒ ÊÁe˵ÊÁ¼Å ‹ Œíšç‹ Œื ‹ “u”µÇoÂÒ§ ãËãªæ¼¹ÀÒ¾ªÇÂ㹡ÒõÃǨÊoº¤ÇÒÁa‹Œ Œ‹ÊÁe˵ÊÁ¼Å ¢o§¡ÒáÅÒÇoÒ§e˵¼Åµo仹 u‹Œu‹Õée˵ ¹¡·u¡µÇºi¹ä´ u1.aŒ o¡Òº¹ä´ 2.ÕiŒ¼Å o¡Òe»¹¹¡ ՚äÁÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaÊÒÁÒöÇÒ´ã˼Åe»¹e·¨ä´ ´§ÃÙ» ‹uŒšçŒa

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 34 ʵǻ¡ a ‚ʧ·º¹ä´ ièÕèiŒæÁÇ ÊµÇ»¡ a ‚ʧ·º¹ä´ ièÕèiŒæÁÇ ¹¡eÃÕ¹ a¤¹¢Â¹ aÊ´Ò uʧ·µo§ËÒÂ㨠ièÕèŒÂÃÒ¿ Õ浂 ae˵ ¹¡eÃÕ¹·u¡¤¹µo§¢Â¹ u1.aŒa Ê´Òe»¹¹¡eÃÕ¹ 2.uša¼Å Ê´Òµo§¢Â¹ uŒaÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾ä´e¾Õ§溺e´ÕÂÇ æÅauŒ¾ºÇҼŨae»¹¨Ãi§eÊÁo ‹še˵ ʵǷ¡µÇµo§ËÒÂ㨠u1.auaŒ ÂÃÒ¿·¡µÇµo§ËÒÂ㨠2.ÕuaŒ¼Å ÂÃÒ¿·¡µÇe»¹ÊµÇ ÕuašaäÁÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaÊÒÁÒöÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾ãËe˵u·¡¢o‹uŒuŒe»¹¨Ãi§ æµ¼Åe»¹e·¨ä´ ´§ÃÙ» š‹šçŒae˵ ʵǻ¡·u¡µÇºi¹ä´ u1.a ‚aŒ æÁǺҧµÇe»¹ÊµÇ»¡ 2.aša ‚¼Å æÁǺҧµÇº¹ä´ aiŒ

พื้นฐาน บทท การใหเหตุผลี่ 2 ้35 ÊÁe˵ÊÁ¼Å e¾ÃÒaäÁÊÒÁÒöÇÒ´ã˼Åe»¹e·¨ä´ u‹ŒšçŒ(äÁÇÒ¨aÇÒ´oÂÒ§äüšçe»¹¨Ãi§eÊÁo) ‹ ‹‹š** ã¹ÃÙ»¢ÇÒ ¾ºÇÒæÁÇ·¡µÇº¹ä´ ¡çæ»ÅÇÒÁÕæÁǺҧµÇ‹uaiŒ‹a·Õèº¹ä´ ¶Ù¡µo§eª¹¡¹ iŒŒ‹a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 36 (˹ÒÇÒ§) Œ ‹

คณตศาสตรพนฐาน มิื้ .4 เทอม 1 บทที่ 3จํานวนจริง1. ¨Ò¹Ç¹·Õè¤i´¢é¹¤Ãaé§æá㪹ºÊ§¢o§µÒ§ eÃÕ¡ÇÒ íึŒaiè‹æ‹¨Ò¹Ç¹¸ÃÃÁªÒµ ËÃo ¨Ò¹Ç¹¹aº íiื “í”ä´æ¡ Œ ‹1, 2, 3, 4, 5, ...Ê Å¡É³æ·¹e«µ¢o§¨Ò¹Ç¹¹º¤o e«µ a­ aíaืN={1,2,3,4,...}N2. ¨Ò¹Ç¹¹º ¨Ò¹Ç¹È¹Â æÅ ¨Ò¹Ç¹eµÁź eÃÕ¡íaíُa íçÃÇÁ¡a¹ÇÒ ¨Ò¹Ç¹eµçÁ (ãªÊ šɳe»¹e«µ ) ‹ “플 ­aa šI=−−−{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}I3. ¨Ò¹Ç¹eµÁ æÅ eÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ eÃÕ¡ÃÇÁ¡a¹ÇÒ íça‹í狓¨Ò¹Ç¹µÃá (ãªÊ šɳe»¹e«µ ) ía ”Œ ­aa šQ eÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ ¨ e»¹·È¹ÂÁ«éíÒeÊÁo •‹íçaši ¨Ò¹Ç¹oè¹ «è§e»¹·È¹ÂÁäÁ«éíÒ eÃÕ¡ÇÒ ¨Ò¹Ç¹oµ•íืæึ ši‹‹ “íÃá (e«µ a ”'Q) eª¹ ‹2, 3, , πe

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 38 µaÇoÂÒ§ ¨Ò¹Ç¹µo仹e»¹¨Ò¹Ç¹µÃá ËÃooµÃá ? ‹í‹Õéšíaืa3.1416e»¹¨Ò¹Ç¹µÃá e¾ÃÒ e¢Õ¹e»¹eÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹šíaaš‹íeµÁä´ (çŒ31,416/10,000) 441e»¹¨Ò¹Ç¹µÃá e¾ÃÒ ¶o´¤Òä´e·Ò¡aº ¾o´Õ šíaa‹Œ ‹21− π /2e»¹¨Ò¹Ç¹oµÃá e¾ÃÒ e»¹·È¹ÂÁäÁ«éíÒ šíaaši‹2/ 18e»¹¨Ò¹Ç¹µÃá e¾ÃÒ ËÒáa¹ä´ šíaaŒ1/ 9«è§¶o´¤Òä´e·Ò¡aº ึ‹ Œ ‹1/3−6/ 3e»¹¨Ò¹Ç¹oµÃá e¾ÃÒ ËÒáa¹ä´ šíaaŒ−22.55555...e»¹¨Ò¹Ç¹µÃá e¾ÃÒ e»¹·È¹ÂÁ«éíÒ (¨ ÊÒÁÒöšíaašiae¢Õ¹e»¹eÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁä´ ¤o š‹íçŒ ื23/9) 0.274274274...e»¹¨Ò¹Ç¹µÃá e¾ÃÒ e»¹·È¹ÂÁ«éíÒ (¨ ÊÒÁÒöšíaašiae¢Õ¹e»¹eÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁä´ ¤o š‹íçŒ ื274/999) 0.515115111...e»¹¨Ò¹Ç¹oµÃá e¾ÃÒ e»¹·È¹ÂÁäÁ«éíÒ šíaaši‹4. ¨Ò¹Ç¹·¡»Ã eÀ··¡ÅÒÇÁÒ eÃÕ¡ÃÇÁ¡a¹ÇÒ ¨Ò¹Ç¹íuaÕ苋 “í¨Ãi§ (ãªÊ šɳe»¹e«µ ) ”Œ ­aa šR

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ39 ¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ í¨Ò¹Ç¹µÃá ía¨Ò¹Ç¹oµÃá ía(·È¹ÂÁäÁ«éíÒ) i‹¨Ò¹Ç¹eµÁ íç¨Ò¹Ç¹eµÁź ¨Ò¹Ç¹eµÁȹ ¨íҹǹeµçÁºÇ¡ íçíçُ(¨Ò¹Ç¹¹º) íaeÈÉÊǹ¢o§¨Ò¹Ç¹eµÁ ‹íç(·È¹ÂÁ«éíÒ) i ¨Ò¹Ç¹»Ã eÀ·oè¹ «è§äÁ㪨ҹǹ¨Ãi§ ä´æ¡ •íaืæึ ‹ ‹íŒ ‹ÃÒ¡·Õè¤Ù¢o§¨Ò¹Ç¹µ´Åº eª¹ ‹íi‹− 5 (¨Ò¹Ç¹¨¹µÀÒ¾) íiæÅ eÈÉÊǹ·ÕèÁÕµÇÊǹe»¹ («è§¡ç¤o ) a‹a‹š0ึื∞5. ¤íÒȾ·e¾ièÁeµÁe¡ÕèÂÇ¡aº¨Ò¹Ç¹eµÁ aiíç ¨Ò¹Ç¹¤Ù ¤o¨Ò¹Ç¹eµÁ·ËÒà ŧµaÇ •í‹ ืíçÕè2(ä´æ¡ Œ ‹0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, ) …¨Ò¹Ç¹eµÁoè¹ eÃÕ¡ÇҨҹǹ¤Õè e»¹¨Ò¹Ç¹eµÁ· íçืæ‹íšíçÕèËÒà äÁŧµÇ (ä´æ¡ 2‹aŒ ‹1, -1, 3, -3, ) …

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 40 ¨Ò¹Ç¹eµÁ íç¨Ò¹Ç¹¤Ù 틱 ±0, 2, 4,...¨Ò¹Ç¹¤Õè í±±1, 3,...¨Ò¹Ç¹eµÁ íç±0, 1¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ía±±±2, 3, 5,...¨Ò¹Ç¹»Ã ¡oº ía± ±4, 6,... ¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ¤o¨Ò¹Ç¹eµÁ·äÁ㪠•íaืíçÕè‹ ‹0, 1, -1 æÅ ÁÕa¨Ò¹Ç¹eµÁ·ä»ËÒÃŧµÇe¾Õ§ íçÕèa± 1 æÅ µÇÁa¹eo§ a± ae·Ò¹¹ ‹aé ¨Ò¹Ç¹eµÁoè¹ ·äÁ㪨ҹǹe©¾Ò æÅ äÁ㪠•íçืæÕè‹ ‹ía a‹ ‹0, 1, -1 ¨´e»¹¨Ò¹Ç¹»Ã ¡oº (¨Ò¹Ç¹«è§æ¡µÇ»Ã ¡oºã¹ašíaíึaaÃÙ»¼Å¤Ù³¢o§¨Ò¹Ç¹e©¾Ò ä´) íaŒ6. ÊÁºaµi»´ ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ eÁèo¹ÒÊÁÒª¡ã´ ã¹e«µÁҁ‹ืíiæ´íÒe¹¹¡ÒÃæÅÇ ¼Å·ä´Â§¤§e»¹ÊÁÒªi¡¢o§e«µ¹¹o eª¹ iŒÕèŒašaéً ‹e«µ¨Ò¹Ç¹¹ºÁÕÊÁºaµi»´¡ÒúǡæÅ ¤Ù³ æµäÁÁÕÊÁºaµi»´íaa‹ ‹¡ÒÃźæÅ ¡ÒÃËÒà (e¹o§¨Ò¡¼ÅźæÅ ¼ÅËÒâo§¨Ò¹Ç¹aื èaí¹ººÒ§¤Ù äÁe»¹¨Ò¹Ç¹¹º) a‹‹ šía

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ41 µaÇoÂÒ§ e«µµo仹ÕéÁÕÊÁºaµi»´¡ÒúǡËÃoäÁ æÅ ÁՋ‹ื‹aÊÁºaµi»´¡ÒäٳËÃoäÁ? ื‹−{1,0,1}äÁÁÕÊÁºaµi»´¡Òúǡ (eª¹ ‹‹+=112 «è§äÁoÂã¹e«µ¹) ึ ‹ ‹ÙÕéæµÁÕÊÁºaµi»´¡Òäٳ (e¾ÃÒ äÁÇÒ¨ ¹Ò¨Ò¹Ç¹ã´ã¹e«µ¹‹a‹ ‹a ííÕéÁÒ¤Ù³¡a¹ ¼Åž¸·ä´Â§¤§oÂã¹e«µ¹eÊÁo) aÕèŒaÙ ‹Õé−−− −{0,1, 2,3,4,...}ÁÕÊÁºaµi»´¡Òúǡ (e¾ÃÒ ¨Ò¹Ç¹ æÅ ¨Ò¹Ç¹eµÁź a í0a íçºÇ¡¡a¹oÂÒ§äáçÂoÁ䴨ҹǹ æÅ ¨Ò¹Ç¹eµÁźeÊÁo) ‹‹Œí0a íçæµäÁÁÕÊÁºaµi»´¡Òäٳ (eª¹ ‹ ‹‹−⋅ −=(1)(2)2 «è§äÁoÂึ ‹ ‹Ùã¹e«µ¹) Õé e«µ¢o§¨Ò¹Ç¹oµÃá íaäÁÁÕÊÁºaµi»´¡Òúǡ (eª¹ ‹‹+−=2(2)0) æÅ äÁÁÕÊÁºaµi»´¡Òäٳ (eª¹ a‹‹⋅= 222) 7. eo¡Å¡É³ ¤o¨Ò¹Ç¹·ä»´íÒe¹¹¡Òáaº¨Ò¹Ç¹ “a” ืíÕèiíaã´¡çµÒÁ æÅÇ䴼޸ e·Òe´iÁ ŒŒaa‹ËÃo ื∗=∗=aee aa (eÁèo ¤oeo¡Å¡É³) ืeืae¹o§¨Ò¡ ื è+ = + =a00aa´a§¹¹eo¡Å¡É³¡Òúǡ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¤o aéaíæื0

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 42 æÅ e¹o§¨Ò¡ aื è⋅= ⋅ =a1 1 aa´a§¹¹eo¡Å¡É³¡Òäٳ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¤o aéaíæื1µaÇoÂÒ§ ¶Ò¹ÂÒÁãË ‹ŒiŒ∗=+−xyxy2ãËËÒeo¡Å¡É³¢o§¡ÒôíÒe¹¹¡Òù ŒaiÕé¨Ò¡ ∗=aea ¨ ä´ aŒ+−=ae2a¹¹¤o aèื= e2æÅ ¨Ò¡ a∗=eaa ¨ ä´ aŒ+−=ea2a¹¹¤o aèื= e2 eª¹¡a¹ ‹´a§¹¹ÊÃu»ÇÒ eo¡Å¡É³¢o§¡ÒôíÒe¹¹¡Òù¤o aé‹aiÕéื2µaÇoÂÒ§ ¶Ò¹ÂÒÁãË ‹ŒiŒ∗=−+xyxy2ãËËÒeo¡Å¡É³¢o§¡ÒôíÒe¹¹¡Òù ŒaiÕé¨Ò¡ ∗=aea ¨ ä´ aŒ−+=ae2a¹¹¤o aèื= e2æÅ ¨Ò¡ a∗=eaa ¨ ä´ aŒ−+=ea2a¹¹¤o aèื=− e2a 2¾ºÇÒeo¡Å¡É³·ËÒä´¨Ò¡Êo§Çi¸ÕÁÕ¤ÒäÁe·Ò¡a¹ ´a§¹¹¡ÒËaÕ茋‹ ‹aé´íÒe¹¹¡ÒÃã¹¢o¹Õé äÁÁÕeo¡Å¡É³ iŒ“ ‹a”** ¡ÒôíÒe¹¹¡ÒÃã´¨ ÁÕeo¡Å¡É³ä´¹¹ ¨ µo§ÁÕÊÁºaµiaa Œaéa Œi¡ÒÃÊź·Õè¡o¹ e¾ÃÒ a‹a∗ae µo§e·Ò¡aº Œ‹∗ea ´Ç Œ

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ43 8. o¹eÇoÃÊ (µÇ¼¡¼¹) ¢o§ ¤o¨Ò¹Ç¹·ä»“ iaaa” ืíÕè´íÒe¹¹¡Òáaº¨Ò¹Ç¹ æÅÇ䴼޸e»¹eo¡Å¡É³ iíaŒ Œa šaËÃo ื∗= ∗=aii ae (eÁèo ¤oo¹eÇoÃÊ) ืiืie¹o§¨Ò¡ ื è+− =− + =a( a) ( a) a0´a§¹¹o¹eÇoÃÊ¡Òúǡ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ¤o aéiíaื –aæÅ e¹o§¨Ò¡ aื è⋅=⋅=a(1/a) (1/a) a1´a§¹¹o¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ¤o aéiíaื1/a(¡eǹeÁèo Œื= a0 ¨ äÁÁÕo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ) a‹i** ¤Ò ‹1/a ÊÒÁÒöe¢Õ¹e»¹ š− 1 a ä´´Ç Œ Œ(oÒ¹ÇÒ Â¡¡íÒÅ§ÅºË¹è§ ËÃo o¹eÇoÃÊ ¡çä´) ‹‹ “aaึ ”ื “ai ”ŒµaÇoÂÒ§ ¶Ò¹ÂÒÁãË ‹ŒiŒ∗=+−xyxy2ãËËÒo¹eÇoÃÊ¢o§ ÊÒËÃaº¡ÒôíÒe¹¹¡Òù ŒiaíiÕé¨Ò¡¢o·æÅÇ eo¡Å¡É³¢o§¡ÒôíÒe¹¹¡Òù¤o ŒÕèŒaiÕéื2´a§¹¹ aé∗=ai2 ¨ ä´ aŒ+−=ai22¹¹¤o aèื= − i4 a(ËÃo¤i´¨Ò¡ ื∗=ia2 ¡ç¨ ä´ aŒ= − i4 a eª¹¡a¹) ‹ÊÃu»ÇÒo¹eÇoÃÊ¢o§ ã¹¢o¹Õé¤o ‹iaŒื−4aµaÇoÂÒ§ ¶Ò¹ÂÒÁãË ‹ŒiŒ∗=−+xyxy2¡ÒôíÒe¹¹¡ÒùÕé¨ äÁÁÕo¹eÇoÃÊ e¾ÃÒ äÁÁÕeo¡Å¡É³ ia‹ia‹a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 44 9. ´ÂÊÃu» à ºº¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ÁÕÊÁºaµi oÂÒ§ ´a§¹ oaí11‹Õé (1) ÊÁºaµi»´¢o§¡Òúǡ ¶Ò æÅ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§æÅÇ ŒaabšíŒa+b e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ší (2) ÊÁºµi»´¢o§¡Òäٳ a¶Ò æÅ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§æÅÇ e»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ŒaabšíŒabší (3) ÊÁºaµ¡ÒÃÊź·¢o§¡Òúǡ iaÕè+ = + abb a (4) ÊÁºaµ¡ÒÃÊź·¢o§¡Òäٳ iaÕè= abb a (5) ÊÁºaµ¡ÒÃe»Å¹¡ÅÁ¢o§¡Òúǡ iÕèu ‹++=++a(b c)(ab) c (6) ÊÁºµ¡ÒÃe»Å¹¡ÅÁ¢o§¡Òäٳ aiÕèu ‹== a(b c)(ab) cab c (7) ÊÁºµ¡ÒÃ模樧 ai+= + a (bc)aba c æÅ a+=+ (a b) ca c b c (8) ÊÁºaµ¡ÒÃÁÕeo¡Å¡É³¡Òúǡ iae¹o§¨Ò¡ ื è+ = + =a00aa´a§¹¹eo¡Å¡É³¡Òúǡ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¤o aéaíæื0 (9) ÊÁºaµ¡ÒÃÁÕeo¡Å¡É³¡Òäٳ iae¹o§¨Ò¡ ื è⋅= ⋅ =a1 1 aa´a§¹¹eo¡Å¡É³¡Òäٳ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ã´ ¤o aéaíæื1 (10) ÊÁºaµ¡ÒÃÁÕo¹eÇoÃÊ¡Òúǡ iie¹o§¨Ò¡ ื è+− =− + =a( a) ( a) a0´a§¹¹o¹eÇoÃÊ¡Òúǡ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ¤o aéiía ื –a

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ45 (11) ÊÁºaµ¡ÒÃÁÕo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ iie¹o§¨Ò¡ ื è⋅=⋅=a(1/a) (1/a) a1´a§¹¹o¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ ¤o aéiíaื1/a(¡eǹeÁèo Œื= a0 ¨ äÁÁÕo¹eÇoÃÊ¡Òäٳ) a‹i10. ¡Òäíҹdze¡ÕèÂÇ¡aºeÈÉÊǹ ‹ (1) ¡ÒúǡeÈÉÊǹ ‹++= adacbdbcbc (2) ¡ÒäٳeÈÉÊǹ ‹⋅=adadbcbc (3) eÈÉÊǹ«o¹ ‹Œ= abacbc æÅ a= aacbcb (4) ¡ÒÃËÒÃeÈÉÊǹ ‹= abadcdbc (5) o¹eÇoÃÊ¡Òäٳ¢o§eÈÉÊǹ i‹−⎛⎞= ⎜⎟⎝⎠1abba11. ÊÁ¡Òà ¤o»Ã ¤·ÕèÁÕµÇæ»ÃæÅ ¡ÅÒǶ§¡ÒÃe·Ò¡a¹ ืaoaa‹ึ‹ ¡Òà æ¡ÊÁ¡Òà ¤o¡ÒÃËÒ¤Ò¢o§µÇæ»Ã·Õè·Òã˕“ Œ” ื‹a팻à ¤¹¹e»¹¨Ãi§.. oÒ¨¡ÅÒÇÇÒe»¹¡ÒÃËÒ e«µ¤íÒµoºaoa隋‹ š“¢o§ÊÁ¡Òà ËÃo¡ÒÃËÒ ÃÒ¡¢o§ÊÁ¡Òà ¡çä´ ”ื“”Œ

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 46 ** ¤íÒÇÒ ÃÒ¡¢o§ÊÁ¡Òà æ»ÅÇÒ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹ “”‹(äÁä´ËÁÒ¤ÇÒÁe¡ÕèÂÇ¡aº¡Òöo´ÃÙ·) ‹ ŒŒµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº æÅ ¼ÅºÇ¡¢o§ÃÒ¡¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œa−= 2x3x0e¹o§¨Ò¡ ื è−= −=2x3x(x)(x 3)0ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ‹= x0 ËÃo ื−=x30æÊ´§ÇÒ ÃÒ¡¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ ¡aº ‹Œ ‹03´a§¹¹e«µ¤íÒµoº¤o aéื{0,3}æÅ ¼ÅºÇ¡ÃÒ¡¢o§ÊÁ¡Òà e·Ò¡aº a‹+ = 03312. ¢o¤ÇÃà Ça§ã¹¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃã´ ŒaŒæ ¡ÒúǡËÃoź·§Êo§¢Ò§ (ÂÒ¢ҧºÇ¡Åº) æÅ ¡ÒÕืa錌Œaµ´oo¡ÊÒËÃaº¡ÒúǡËÃoź ·Òä´eÊÁo aíืíŒ=→ ±=±aba cb c eÊÁo ± =± → =acb cab eÊÁo ¡Òäٳ·§Êo§¢Ò§ (ÂÒ¢ҧ¤Ù³) ·Òä´eÊÁo ¡ÒÕa錌ŒíŒËÒ÷§Êo§¢Ò§ (ÂÒ¢ҧä»ËÒÃ) µÇËÒÃËÒÁe»¹ a錌ŒaŒš0=→ =aba cb c eÊÁo =→ =aba/cb /c eÁèo ื≠c0 ¡Òõ´oo¡ÊÒËÃaº¡Òäٳ ·Òä´eÁèoÁaè¹ã¨ÇÒeÅ¢·Õèµa´•aííŒ ื‹oo¡·§Êo§¢Ò§äÁ㪠a錋 ‹0=→=acb cab eÁèo ื≠c0

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ47 ¡Òá¡íÒŧÊo§·§Êo§¢Ò§ ·Òä´eÊÁo •aaéŒíŒæµ¡Òõ´¡íÒŧÊo§oo¡ ¨ ÁռŠ¡Ã³Õ ¤oÊo§¢Ò§‹aaa2ืŒe·Ò¡a¹ ËÃoÊo§¢Ò§e»¹µ´Åº¢o§¡a¹æÅ ¡a¹ ‹ืŒšia=→ =22abab eÊÁo =→=22abab ËÃo ื=−abµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ= 2x3x¶Òµ´ oo¡Ë¹§µÇ·§Êo§¢Ò§ ¡ÅÒÂe»¹ Œaxึ èaa錚= x3¨ ä´e«µ¤íÒµoº¤o aŒื{3} æµe»¹¤íÒµoº·Õè¼´! ‹ šiÇi¸Õ·Õè¶Ù¡ ¨ µo§ÂÒÂÁÒź¡a¹´a§¹.. a ŒŒÕé−= 2x3x0¨ ä´ aŒ−=(x)(x 3)0ËÁÒ¤ÇÒÁÇÒ ‹= x0 ËÃo ื−=x30´a§¹¹e«µ¤íÒµoº·Õè¶Ù¡µo§¤o aéŒื{0,3}¨ e˹ÇÒ¶Òµ´ oo¡·aé§Êo§¢Ò§ ¨ ÅÁ¤íÒµoº aç‹ ŒaxŒa ื= x0** ÊÃu»¤o ËÒ¡ ¨·Â¡íÒ˹´ÇÒ äÁe»¹È¹Â ÊÒÁÒöืo‹x‹ šÙµ´oo¡ä´ æµ¶Ò oÒ¨e»¹È¹Âä´ ËÒÁµ´oo¡! aŒ‹ ŒxšÙ Œ Œa13. ¾Ë¹ÒÁ ¤oÃٻ溺ª¹´Ë¹§·Ò§¤³iµÈÒʵà uืiึ 菾˹ÒÁ·ÕèÁÕ e»¹µÇæ»ÃµÇe´ÕÂÇ ¨ oÂã¹ÃÙ» uxšaaaÙ ‹−−++++ nn 1nn 110axa x... a x a

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 48 ( ·§ËÁ´e»¹¤Ò¤§· eÃÕ¡ÇÒ ÊÁ»Ã Ê·¸ aaéš ‹Õè‹ “aa iiì”æÅ ¤o¨Ò¹Ç¹¹ºã´ ) anืíaæ¡Ò÷Ҿ˹ÒÁãËoÂã¹ÃÙ»¼Å¤Ù³¢o§¾Ë¹ÒÁ·ÕèÁÕ´Õ¡ÃÕµÒŧ íuŒ ‹ÙuèíeÃÕ¡ÇÒ ¡ÒÃ桵ǻà ¡oº ‹ “aa”14. ÊÁºaµi·ÕèÊÒ¤a 㹡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§¤o ËÒ¡ í­Œaื= ab0 æÅǨ ä´ÇÒ ŒaŒ ‹=a0 ËÃo ื=b0ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ã¹Å¡É³ aaa ++=2xBx C0¤ÇÃ桵ǻà ¡oºãËoÂã¹ÃÙ» aaŒ ‹Ù++=(x D)(x E)0e¾èo¨ ä´·ÃÒºÇÒ ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ ืaŒ‹Œ ‹=−xD ËÃo ื=−xEµaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−+= 2x6x 50桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š−−=(x 5)(x 1)0´a§¹¹ aé−=x50 ËÃo ื−=x1 0¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹= x5 ËÃo ื= x1æÅ e«µ¤íÒµoº¤o aื{5,1}µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−=2x4x2¹Ò ¤Ù³·aé§Êo§¢Ò§¢o§ÊÁ¡Òà e¾èoäÁãËÁÕeÈÉÊǹ í2Œื‹ Œ‹

พื้นฐาน บทที่ 3 จานวนจริงํ49 ¨ ä´e»¹ aŒ š−=28x2x¨Ò¡¹¹ÂÒ¢ҧãËÁÕ½§Ë¹§e»¹ a錌Œ ˜›ึ šè0 ¨ ä´ aŒ=+− 20x2x8 ¹¹¤o aèื=+ −0(x4)(x2)´a§¹¹ aé+ =x40 ËÃo ื− =x20¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹=−x4 ËÃo ื= x2¨§ä´ÇÒ e«µ¤íÒµoº¤o ึ Œ ‹ื−{4,2}µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ− = 2x30桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š −+= (x3)(x3)0´a§¹¹ aé−= x30 ËÃo ื+= x30¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹= x3 ËÃo ื=−x3æÅ e«µ¤íÒµoº¤o aื−{3,3}(ËÃooÒ¨e¢Õ¹e»¹ ืš±{3} ¡çä´) Œ** ¶Òe»Å¹ ¨·Âe»¹ ŒÕèo š+ = 2x30 ¨ äÁÁÕ¤íÒµoº·e»¹a‹Õ蚨ҹǹ¨Ãi§ e¹o§¨Ò¡¨ 桵ǻà ¡oºäÁä´ íื èaaa‹ Œ(ËÒ¡ÂÒ¢ҧ¨ ¾ºÇÒä´ÊÁ¡Òà ŒŒa‹Œ=− 2x3 æÊ´§ÇÒ¤Ò ‹ ‹x¹e»¹ÃÒ¡·Êo§¢o§ ¨§äÁ㪨ҹǹ¨Ãi§) ÕéšÕè– 3ึ ‹ ‹í15. ÊÁ¡ÒáíÒŧÊo§ ÁÕÃÙ»·Çä»e»¹ aaèš++=2AxBx C0eÁèo桵ǻà ¡oºe»¹ ืaaš++=(Dx E)(Fx G)0 ¨ ·ÃÒº aÇÒ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ ‹Œ ‹=−ExD ËÃo ื=−GxF

สรุปคณิตศาสตร์ ม เทอม .4 1 50 µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ− = 29x20桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š−+= (3x2)(3x2)0´a§¹¹ aé−= 3x20 ËÃo ื+= 3x20¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹=2x3 ËÃo ื=−2x3æÅ e«µ¤íÒµoº¤o aื− 22{,}33** ¶Òe»Å¹ ¨·Âe»¹ ŒÕèo š+ = 29x20 ¨ äÁÁÕ¤íÒµoº·a‹Õèe»¹¨Ò¹Ç¹¨Ãi§ e¹o§¨Ò¡¨ 桵ǻà ¡oºäÁä´ šíื èaaa‹ Œ(ËÒ¡ÂÒ¢ҧ¨ ¾ºÇÒä´ÊÁ¡Òà ŒŒa‹Œ=− 22x9 æÊ´§ÇÒ ‹¤Ò ¹Õée»¹ÃÒ¡·ÕèÊo§¢o§¤Òµi´Åº ¨§äÁ㪨íҹǹ¨Ãi§) ‹xš‹ึ ‹ ‹µaÇoÂÒ§ ãËËÒe«µ¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡Òà ‹Œ−−= 26x13x 50桵ǻà ¡oºä´e»¹ aaŒ š−+=(2x 5)(3x 1)0´a§¹¹ aé−=2x 50 ËÃo ื+=3x 1 0¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃä´æ¡ Œ ‹=5 x2 ËÃo ื=−1x3æÅ e«µ¤íÒµoº¤o aื− 51 {,}23